Matemática discreta Ejemplos

$4 (k - 2) - 8 = 5 k (4 k - 1)$

Paso 1

Resta $5 k (4 k - 1)$ de ambos lados de la ecuación.

$4 (k - 2) - 8 - 5 k (4 k - 1) = 0$

Paso 2

Simplifica $4 (k - 2) - 8 - 5 k (4 k - 1)$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 k + 4 \cdot - 2 - 8 - 5 k (4 k - 1) = 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$4 k - 8 - 8 - 5 k (4 k - 1) = 0$

Paso 2.2

Resta $8$ de $- 8$ .

$4 k - 16 - 5 k (4 k - 1) = 0$

Paso 3

Simplifica $4 k - 16 - 5 k (4 k - 1)$ .

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 k - 16 - 5 k (4 k) - 5 k \cdot - 1 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 k - 16 - 5 \cdot 4 k \cdot k - 5 k \cdot - 1 = 0$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$4 k - 16 - 5 \cdot 4 k \cdot k + 5 k = 0$

Paso 3.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.4.1.1

Mueve $k$ .

$4 k - 16 - 5 \cdot 4 (k \cdot k) + 5 k = 0$

Paso 3.1.4.1.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$4 k - 16 - 5 \cdot 4 k^{2} + 5 k = 0$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$4 k - 16 - 20 k^{2} + 5 k = 0$

Paso 3.2

Suma $4 k$ y $5 k$ .

$9 k - 16 - 20 k^{2} = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = - 20$ , $b = 9$ y $c = - 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $k$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 20 \cdot - 16)}}{2 \cdot - 20}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 20 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 20 \cdot - 16$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 80 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $80$ por $- 16$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 1280}}{2 \cdot - 20}$

Paso 6.1.3

Resta $1280$ de $81$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 6.1.4

Reescribe $- 1199$ como $- 1 (1199)$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1199)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$ .

$k = \frac{9 \pm i \sqrt{1199}}{40}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 20 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 20 \cdot - 16$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 80 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $80$ por $- 16$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 1280}}{2 \cdot - 20}$

Paso 7.1.3

Resta $1280$ de $81$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 7.1.4

Reescribe $- 1199$ como $- 1 (1199)$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1199)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$ .

$k = \frac{9 \pm i \sqrt{1199}}{40}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$k = \frac{9 + i \sqrt{1199}}{40}$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 20 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 20 \cdot - 16$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 80 \cdot - 16}}{2 \cdot - 20}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $80$ por $- 16$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 1280}}{2 \cdot - 20}$

Paso 8.1.3

Resta $1280$ de $81$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 8.1.4

Reescribe $- 1199$ como $- 1 (1199)$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 8.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (1199)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}$ .

$k = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 8.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{2 \cdot - 20}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $- 20$ .

$k = \frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{- 9 \pm i \sqrt{1199}}{- 40}$ .

$k = \frac{9 \pm i \sqrt{1199}}{40}$

Paso 8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$k = \frac{9 - i \sqrt{1199}}{40}$

Paso 9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$k = \frac{9 + i \sqrt{1199}}{40}, \frac{9 - i \sqrt{1199}}{40}$