Matemática discreta Ejemplos

$3 {(9)}^{x - 3} = 25$

Paso 1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$3 {(9)}^{x - 3} - 25 = 0$

Paso 2

Multiplica $3 \cdot 9^{x - 3}$ .

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3 \cdot {(3^{2})}^{x - 3} - 25 = 0$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(3^{2})}^{x - 3}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 3^{2 (x - 3)} - 25 = 0$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 3^{2 x + 2 \cdot - 3} - 25 = 0$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$3 \cdot 3^{2 x - 6} - 25 = 0$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{1 + 2 x - 6} - 25 = 0$

Paso 2.4

Resta $6$ de $1$ .

$3^{2 x - 5} - 25 = 0$

Paso 3

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{2 x - 5} = 25$

Paso 4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{2 x - 5}) = \ln (25)$

Paso 5

Expande $\ln (3^{2 x - 5})$ ; para ello, mueve $2 x - 5$ fuera del logaritmo.

$(2 x - 5) \ln (3) = \ln (25)$

Paso 6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \ln (3) - 5 \ln (3) = \ln (25)$

Paso 7

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 x \ln (3) - 5 \ln (3) - \ln (25) = 0$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Suma $5 \ln (3)$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (3) - \ln (25) = 5 \ln (3)$

Paso 8.2

Suma $\ln (25)$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (3) = 5 \ln (3) + \ln (25)$

Paso 9

Divide cada término en $2 x \ln (3) = 5 \ln (3) + \ln (25)$ por $2 \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $2 x \ln (3) = 5 \ln (3) + \ln (25)$ por $2 \ln (3)$ .

$\frac{2 x \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Paso 9.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Paso 9.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 9.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{5 \ln (3)}{2 \ln (3)} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Paso 9.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (25)}{2 \ln (3)}$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Reescribe $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (5^{2})}{2 \ln (3)}$

Paso 10.2

Expande $\ln (5^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$x = \frac{5}{2} + \frac{2 \ln (5)}{2 \ln (3)}$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{5}{2} + \frac{2 \ln (5)}{2 \ln (3)}$

Paso 10.3.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5}{2} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$