Matemática discreta Ejemplos

$16000 {(1 + r)}^{2} = 25000$

Paso 1

Resta $25000$ de ambos lados de la ecuación.

$16000 {(1 + r)}^{2} - 25000 = 0$

Paso 2

Simplifica $16000 {(1 + r)}^{2} - 25000$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(1 + r)}^{2}$ como $(1 + r) (1 + r)$ .

$16000 ((1 + r) (1 + r)) - 25000 = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(1 + r) (1 + r)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$16000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $r$ por $1$ .

$16000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $r$ por $1$ .

$16000 (1 + r + r + r \cdot r) - 25000 = 0$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $r$ por $r$ .

$16000 (1 + r + r + r^{2}) - 25000 = 0$

Paso 2.1.3.2

Suma $r$ y $r$ .

$16000 (1 + 2 r + r^{2}) - 25000 = 0$

Paso 2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$16000 \cdot 1 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Multiplica $16000$ por $1$ .

$16000 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $2$ por $16000$ .

$16000 + 32000 r + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Paso 2.2

Resta $25000$ de $16000$ .

$32000 r + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Paso 3

Factoriza $1000$ de $32000 r + 16000 r^{2} - 9000$ .

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Paso 3.1

Factoriza $1000$ de $32000 r$ .

$1000 (32 r) + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $1000$ de $16000 r^{2}$ .

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) - 9000 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $1000$ de $- 9000$ .

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Paso 3.4

Factoriza $1000$ de $1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2})$ .

$1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Paso 3.5

Factoriza $1000$ de $1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9)$ .

$1000 (32 r + 16 r^{2} - 9) = 0$

Paso 4

Sea $u = r$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $r$ .

$1000 (32 u + 16 u^{2} - 9) = 0$

Paso 5

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1

Reordena los términos.

$1000 (16 u^{2} + 32 u - 9) = 0$

Paso 5.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 16 \cdot - 9 = - 144$ y cuya suma es $b = 32$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $32$ de $32 u$ .

$1000 (16 u^{2} + 32 (u) - 9) = 0$

Paso 5.2.2

Reescribe $32$ como $- 4$ más $36$

$1000 (16 u^{2} + (- 4 + 36) u - 9) = 0$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1000 (16 u^{2} - 4 u + 36 u - 9) = 0$

Paso 5.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$1000 ((16 u^{2} - 4 u) + 36 u - 9) = 0$

Paso 5.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$1000 (4 u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)) = 0$

Paso 5.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$1000 ((4 u - 1) (4 u + 9)) = 0$

Paso 6

Factoriza.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r$ .

$1000 ((4 r - 1) (4 r + 9)) = 0$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 r - 1 = 0$

$4 r + 9 = 0$

Paso 8

Establece $4 r - 1$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 8.1

Establece $4 r - 1$ igual a $0$ .

$4 r - 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $4 r - 1 = 0$ en $r$ .

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Paso 8.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 r = 1$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $4 r = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $4 r = 1$ por $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{1}{4}$

Paso 9

Establece $4 r + 9$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 9.1

Establece $4 r + 9$ igual a $0$ .

$4 r + 9 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $4 r + 9 = 0$ en $r$ .

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Paso 9.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$4 r = - 9$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $4 r = - 9$ por $4$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $4 r = - 9$ por $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Paso 9.2.2.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{- 9}{4}$

Paso 9.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{9}{4}$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$ verdadera.

$r = \frac{1}{4}, - \frac{9}{4}$