Matemática discreta Ejemplos

$8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Paso 1

Factoriza $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25$

Paso 1.3

Sustituye $- 0.25$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.25$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye $- 0.25$ en el polinomio.

$8 {(- 0.25)}^{3} - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Paso 1.3.2

Eleva $- 0.25$ a la potencia de $3$ .

$8 \cdot - 0.015625 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $8$ por $- 0.015625$ .

$- 0.125 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Paso 1.3.4

Eleva $- 0.25$ a la potencia de $2$ .

$- 0.125 - 10 \cdot 0.0625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 10$ por $0.0625$ .

$- 0.125 - 0.625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Paso 1.3.6

Resta $0.625$ de $- 0.125$ .

$- 0.75 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 7$ por $- 0.25$ .

$- 0.75 + 1.75 - 1$

Paso 1.3.8

Suma $- 0.75$ y $1.75$ .

$1 - 1$

Paso 1.3.9

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 1.4

Como $- 0.25$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $4 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1}{4 x + 1}$

Paso 1.5

Divide $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ por $4 x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4 x$

$1$

$8 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x$

$1$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $8 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

					$2 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $8 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 12 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 12 x^{2} - 3 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							-	$4 x$	-	$1$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x - 1$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} - 3 x - 1$

Paso 1.6

Escribe $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ como un conjunto de factores.

$(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Paso 3

Establece $4 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece $4 x + 1$ igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $4 x + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $4 x = - 1$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{4}$

Paso 4

Establece $2 x^{2} - 3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $2 x^{2} - 3 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 3$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.3.1.3

Suma $9$ y $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Paso 4.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.4.1.3

Suma $9$ y $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Paso 4.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.5.1.3

Suma $9$ y $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Paso 4.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Forma decimal:

$x = - 0.25, 1.78077640 \dots, - 0.28077640 \dots$