Matemática discreta Ejemplos

$5565.13 = 5000 {(1 + r)}^{2}$

Paso 1

Resta $5000 {(1 + r)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$5565.13 - 5000 {(1 + r)}^{2} = 0$

Paso 2

Simplifica $5565.13 - 5000 {(1 + r)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(1 + r)}^{2}$ como $(1 + r) (1 + r)$ .

$5565.13 - 5000 ((1 + r) (1 + r)) = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(1 + r) (1 + r)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5565.13 - 5000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5565.13 - 5000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5565.13 - 5000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$5565.13 - 5000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $r$ por $1$ .

$5565.13 - 5000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $r$ por $1$ .

$5565.13 - 5000 (1 + r + r + r \cdot r) = 0$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $r$ por $r$ .

$5565.13 - 5000 (1 + r + r + r^{2}) = 0$

Paso 2.1.3.2

Suma $r$ y $r$ .

$5565.13 - 5000 (1 + 2 r + r^{2}) = 0$

Paso 2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$5565.13 - 5000 \cdot 1 - 5000 (2 r) - 5000 r^{2} = 0$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Multiplica $- 5000$ por $1$ .

$5565.13 - 5000 - 5000 (2 r) - 5000 r^{2} = 0$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 5000$ .

$5565.13 - 5000 - 10000 r - 5000 r^{2} = 0$

Paso 2.2

Resta $5000$ de $5565.13$ .

$565.13 - 10000 r - 5000 r^{2} = 0$

Paso 3

Factoriza $0.01$ de $565.13 - 10000 r - 5000 r^{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $0.01$ de $565.13$ .

$0.01 (56513) - 10000 r - 5000 r^{2} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $0.01$ de $- 10000 r$ .

$0.01 (56513) + 0.01 (- 1000000 r) - 5000 r^{2} = 0$

Paso 3.3

Factoriza $0.01$ de $- 5000 r^{2}$ .

$0.01 (56513) + 0.01 (- 1000000 r) + 0.01 (- 500000 r^{2}) = 0$

Paso 3.4

Factoriza $0.01$ de $0.01 (56513) + 0.01 (- 1000000 r)$ .

$0.01 (56513 - 1000000 r) + 0.01 (- 500000 r^{2}) = 0$

Paso 3.5

Factoriza $0.01$ de $0.01 (56513 - 1000000 r) + 0.01 (- 500000 r^{2})$ .

$0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}) = 0$

Paso 4

Divide cada término en $0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}) = 0$ por $0.01$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}) = 0$ por $0.01$ .

$\frac{0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2})}{0.01} = \frac{0}{0.01}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $0.01$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.01 (56513 - 1000000 r - 500000 r^{2})}{0.01} = \frac{0}{0.01}$

Paso 4.2.1.2

Divide $56513 - 1000000 r - 500000 r^{2}$ por $1$ .

$56513 - 1000000 r - 500000 r^{2} = \frac{0}{0.01}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $0.01$ .

$56513 - 1000000 r - 500000 r^{2} = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = - 500000$ , $b = - 1000000$ y $c = 56513$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{1000000 \pm \sqrt{{(- 1000000)}^{2} - 4 \cdot (- 500000 \cdot 56513)}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 1000000$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 - 4 \cdot - 500000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 500000 \cdot 56513$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 2000000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $2000000$ por $56513$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 7.1.3

Suma $1000000000000$ y $113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 7.1.4

Reescribe $1113026000000$ como $1000^{2} \cdot 1113026$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $1000000$ de $1113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000 (1113026)}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $1000000$ como $1000^{2}$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000^{2} \cdot 1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$ .

$r = \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{- 1000}$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{1000}$

Paso 8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $- 1000000$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 - 4 \cdot - 500000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 500000 \cdot 56513$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 2000000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $2000000$ por $56513$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 8.1.3

Suma $1000000000000$ y $113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 8.1.4

Reescribe $1113026000000$ como $1000^{2} \cdot 1113026$ .

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Paso 8.1.4.1

Factoriza $1000000$ de $1113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000 (1113026)}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 8.1.4.2

Reescribe $1000000$ como $1000^{2}$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000^{2} \cdot 1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$ .

$r = \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{- 1000}$

Paso 8.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{1000}$

Paso 8.5

Cambia $\pm$ a $+$ .

$r = - \frac{1000 + \sqrt{1113026}}{1000}$

Paso 9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 1000000$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 - 4 \cdot - 500000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 500000 \cdot 56513$ .

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 2000000 \cdot 56513}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 9.1.2.2

Multiplica $2000000$ por $56513$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000000000 + 113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 9.1.3

Suma $1000000000000$ y $113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1113026000000}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 9.1.4

Reescribe $1113026000000$ como $1000^{2} \cdot 1113026$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $1000000$ de $1113026000000$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000000 (1113026)}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 9.1.4.2

Reescribe $1000000$ como $1000^{2}$ .

$r = \frac{1000000 \pm \sqrt{1000^{2} \cdot 1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 9.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{2 \cdot - 500000}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $- 500000$ .

$r = \frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$

Paso 9.3

Simplifica $\frac{1000000 \pm 1000 \sqrt{1113026}}{- 1000000}$ .

$r = \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{- 1000}$

Paso 9.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{1000 \pm \sqrt{1113026}}{1000}$

Paso 9.5

Cambia $\pm$ a $-$ .

$r = - \frac{1000 - \sqrt{1113026}}{1000}$

Paso 10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = - \frac{1000 + \sqrt{1113026}}{1000}, - \frac{1000 - \sqrt{1113026}}{1000}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$r = - \frac{1000 + \sqrt{1113026}}{1000}, - \frac{1000 - \sqrt{1113026}}{1000}$

Forma decimal:

$r = - 2.05500047 \dots, 0.05500047 \dots$