Matemática discreta Ejemplos

$\ln (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x + \frac{5}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\frac{1}{2} \cdot \ln (2 x + \frac{5}{2})$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (x) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x + \frac{5}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$

Paso 1.2

Resta $\frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (x) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x + \frac{5}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2) = 0$

Paso 2

Simplifica $\ln (x) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2 x + \frac{5}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $- \frac{1}{2} \ln (2 x + \frac{5}{2})$ .

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Paso 2.1.1.1

Reordena $\ln (2 x + \frac{5}{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (x) - (\frac{1}{2} \ln (2 x + \frac{5}{2})) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2) = 0$

Paso 2.1.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (2 x + \frac{5}{2})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln (x) - \ln ({(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2} \cdot \ln (2) = 0$

Paso 2.1.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \ln (2)$ .

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Paso 2.1.2.1

Reordena $\ln (2)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (x) - \ln ({(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2} \ln (2)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (2)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln (x) - \ln ({(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{\frac{1}{2}}) = 0$

Paso 2.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{{(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}}) - \ln (2^{\frac{1}{2}}) = 0$

Paso 2.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{{(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{x}{{(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Paso 2.5

Combinar.

$\ln (\frac{x \cdot 1}{{(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Paso 2.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(2 x + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Paso 2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 2.7.1

Para escribir $2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{x}{{(2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Paso 2.7.2

Combina $2 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{x}{{(\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Paso 2.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (\frac{x}{{(\frac{2 x \cdot 2 + 5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Paso 2.7.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\ln (\frac{x}{{(\frac{4 x + 5}{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Paso 2.7.5

Aplica la regla del producto a $\frac{4 x + 5}{2}$ .

$\ln (\frac{x}{\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Paso 2.8

Combina $\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ y $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{x}{\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}}) = 0$

Paso 2.9

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.9.1

Reduce la expresión $\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.9.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{x}{\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}}) = 0$

Paso 2.9.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{x}{\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{1}}) = 0$

Paso 2.9.2

Divide ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\ln (\frac{x}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Paso 3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 5$

Paso 4