Matemática discreta Ejemplos

$\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (6)$

Paso 1

Resta $\ln (6)$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6) = 0$

Paso 2

Simplifica $\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6)$ .

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Paso 2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 1)) - \ln (6) = 0$

Paso 2.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$

Paso 3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x (x + 1)}{6})} = e^{0}$

Paso 4

Reescribe $\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x + 1)}{6}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$ .

$\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $6$ .

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Paso 5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Simplifica $6 \frac{x (x + 1)}{6}$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Paso 5.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x (x + 1) = 6 e^{0}$

Paso 5.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Paso 5.3.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Paso 5.3.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + x = 6 e^{0}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $6 e^{0}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} + x = 6 \cdot 1$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$x^{2} + x = 6$

Paso 5.4

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Paso 5.5

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 5.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 5.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Paso 5.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 5.7

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.7.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5.8

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.8.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.8.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 5.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 3$