Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 15 x + 25}{3 x^{2} - 8 x - 16}$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = \frac{2 x^{2} + 15 x + 25}{3 x^{2} - 8 x - 16}$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 x^{2} + 15 x + 25 = 0$

Paso 1.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ y cuya suma es $b = 15$ .

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Paso 1.2.2.1.1.1

Factoriza $15$ de $15 x$ .

$2 x^{2} + 15 (x) + 25 = 0$

Paso 1.2.2.1.1.2

Reescribe $15$ como $5$ más $10$

$2 x^{2} + (5 + 10) x + 25 = 0$

Paso 1.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 5 x + 10 x + 25 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} + 5 x) + 10 x + 25 = 0$

Paso 1.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5) = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x + 5) = 0$

Paso 1.2.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 1.2.2.3

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.2.3.1

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Paso 1.2.2.3.2

Resuelve $2 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.2.3.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 5$

Paso 1.2.2.3.2.2

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 1.2.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 1.2.2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Paso 1.2.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 1.2.2.4

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.2.4.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 1.2.2.4.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 1.2.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 5) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{5}{2}, - 5$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(- \frac{5}{2}, 0), (- 5, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2.4

Simplifica $\frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$ .

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Paso 2.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$y = \frac{0 + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2.4.1.3

Multiplica $15$ por $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2.4.1.4

Suma $0$ y $0$ .

$y = \frac{0 + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2.4.1.5

Suma $0$ y $25$ .

$y = \frac{25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \frac{25}{3 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2.4.2.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$y = \frac{25}{0 - 8 \cdot 0 - 16}$

Paso 2.2.4.2.3

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$y = \frac{25}{0 + 0 - 16}$

Paso 2.2.4.2.4

Suma $0$ y $0$ .

$y = \frac{25}{0 - 16}$

Paso 2.2.4.2.5

Resta $16$ de $0$ .

$y = \frac{25}{- 16}$

Paso 2.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{25}{16}$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, - \frac{25}{16})$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(- \frac{5}{2}, 0), (- 5, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, - \frac{25}{16})$

Paso 4