Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 2$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 2$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 2 = 0$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Paso 1.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 = 0$

Paso 1.2.3

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{2}$ al numerador.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$- x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 1.2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 4$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 4$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.3

Suma $16$ y $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.6.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.2.6.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.6.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{2})$ como $- (2 \pm 2 \sqrt{2})$ .

$x = - (2 \pm 2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 4$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.3

Suma $16$ y $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.7.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.2.7.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.7.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{2})$ como $- (2 \pm 2 \sqrt{2})$ .

$x = - (2 \pm 2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.7.6

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - (2 + 2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.7.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 1 \cdot 2 - (2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.7.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = - 2 - (2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.7.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.8.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 4$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 4}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.3

Suma $16$ y $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.8.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$

Paso 1.2.8.3

Simplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.2.8.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.8.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{2})$ como $- (2 \pm 2 \sqrt{2})$ .

$x = - (2 \pm 2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.8.6

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - (2 - 2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.8.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x = - 1 \cdot 2 - (- 2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.8.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = - 2 - (- 2 \sqrt{2})$

Paso 1.2.8.9

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Paso 1.2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 - 2 \sqrt{2}, - 2 + 2 \sqrt{2}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(- 2 - 2 \sqrt{2}, 0), (- 2 + 2 \sqrt{2}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 2$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0 + 2$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 2$

Paso 2.2.3

Simplifica $- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 2$ .

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Paso 2.2.3.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{2}) - 2 \cdot 0 + 2$

Paso 2.2.3.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0 + 2$

Paso 2.2.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 2$

Paso 2.2.3.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.3.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 2$

Paso 2.2.3.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$y = 2$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 2)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(- 2 - 2 \sqrt{2}, 0), (- 2 + 2 \sqrt{2}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 2)$

Paso 4