Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$ .

$0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $0.1$ de $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $0.1$ de $0.1 x^{3}$ .

$0.1 (x^{3}) - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $0.1$ de $- 0.3 x^{2}$ .

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) - 1.8 x + 4 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $0.1$ de $- 1.8 x$ .

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 4 = 0$

Paso 1.2.2.1.4

Factoriza $0.1$ de $4$ .

$0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Paso 1.2.2.1.5

Factoriza $0.1$ de $0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2})$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Paso 1.2.2.1.6

Factoriza $0.1$ de $0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x)$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Paso 1.2.2.1.7

Factoriza $0.1$ de $0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40) = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.2.2.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 1.2.2.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Paso 1.2.2.2.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.2.2.2.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

Paso 1.2.2.2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

Paso 1.2.2.2.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 - 18 \cdot 2 + 40$

Paso 1.2.2.2.3.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$8 - 12 - 18 \cdot 2 + 40$

Paso 1.2.2.2.3.5

Resta $12$ de $8$ .

$- 4 - 18 \cdot 2 + 40$

Paso 1.2.2.2.3.6

Multiplica $- 18$ por $2$ .

$- 4 - 36 + 40$

Paso 1.2.2.2.3.7

Resta $36$ de $- 4$ .

$- 40 + 40$

Paso 1.2.2.2.3.8

Suma $- 40$ y $40$ .

$0$

Paso 1.2.2.2.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40}{x - 2}$

Paso 1.2.2.2.5

Divide $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ por $x - 2$ .

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Paso 1.2.2.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$40$

Paso 1.2.2.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$

Paso 1.2.2.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 1.2.2.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 1.2.2.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Paso 1.2.2.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

Paso 1.2.2.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

Paso 1.2.2.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 1.2.2.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 1.2.2.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$

Paso 1.2.2.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

Paso 1.2.2.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 20 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

Paso 1.2.2.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							-	$20 x$	+	$40$

Paso 1.2.2.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 20 x + 40$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$

Paso 1.2.2.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$
										$0$

Paso 1.2.2.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - x - 20$

Paso 1.2.2.2.6

Escribe $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ como un conjunto de factores.

$0.1 ((x - 2) (x^{2} - x - 20)) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza.

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Paso 1.2.2.3.1

Factoriza $x^{2} - x - 20$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.3.1.1

Factoriza $x^{2} - x - 20$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 5, 4$

Paso 1.2.2.3.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$0.1 ((x - 2) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

Paso 1.2.2.3.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$0.1 ((x - 2) (x - 5) (x + 4)) = 0$

Paso 1.2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 1.2.6

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, 5, - 4$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 \cdot 0^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Paso 2.2.4

Simplifica $0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$ .

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Paso 2.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0.1 \cdot 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $0.1$ por $0$ .

$y = 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Paso 2.2.4.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 0.3 \cdot 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

Paso 2.2.4.1.4

Multiplica $- 0.3$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

Paso 2.2.4.1.5

Multiplica $- 1.8$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 4$

Paso 2.2.4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 4$

Paso 2.2.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 4$

Paso 2.2.4.2.3

Suma $0$ y $4$ .

$y = 4$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 4)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 4)$

Paso 4