Matemática discreta Ejemplos

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Paso 1

Escribe $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ como una ecuación.

$y = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Paso 2

Obtén las intersecciones con x.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$ .

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Reagrupa los términos.

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza $10 x$ de $10 x^{3} - 10 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $10 x$ de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Paso 2.2.2.2.2

Factoriza $10 x$ de $- 10 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Paso 2.2.2.2.3

Factoriza $10 x$ de $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ .

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Paso 2.2.2.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Paso 2.2.2.4

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Paso 2.2.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Paso 2.2.2.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Paso 2.2.2.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Paso 2.2.2.7

Factoriza $u^{2} - 12 u + 11$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $11$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 11, - 1$

Paso 2.2.2.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

Paso 2.2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.2.2.9

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.10

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 2.2.2.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.11

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.11.1

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $10 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.2.2.11.2

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

Paso 2.2.2.11.3

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Paso 2.2.2.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Paso 2.2.2.13

Factoriza $10 u + u^{2} - 11$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 11$ y cuya suma es $10$ .

$- 1, 11$

Paso 2.2.2.13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Paso 2.2.2.14

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Paso 2.2.2.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

Paso 2.2.2.15

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.15.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Paso 2.2.2.15.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Paso 2.2.2.15.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

Paso 2.2.2.15.4

Suma $1$ y $1$ .

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

Paso 2.2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.2.5

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 2.2.5.2

Resuelve ${(x - 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.2.5.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.2.6

Establece $x + 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Establece $x + 11$ igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Paso 2.2.6.2

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 11$

Paso 2.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1, - 11$

Paso 2.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

Paso 3

Obtén las intersecciones con y.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Paso 3.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Paso 3.2.4

Elimina los paréntesis.

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Paso 3.2.5

Simplifica ${(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Paso 3.2.5.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Paso 3.2.5.1.3

Multiplica $10$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Paso 3.2.5.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 \cdot 0 - 10 \cdot 0 + 11$

Paso 3.2.5.1.5

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 10 \cdot 0 + 11$

Paso 3.2.5.1.6

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 11$

Paso 3.2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 11$

Paso 3.2.5.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 0 + 11$

Paso 3.2.5.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 11$

Paso 3.2.5.2.4

Suma $0$ y $11$ .

$y = 11$

Paso 3.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 11)$

Paso 4

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 11)$

Paso 5