Matemática discreta Ejemplos

$y = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3 = 0$ .

$- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Paso 1.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{3} + 2 x + 3 = 0$

Paso 1.2.3

Multiplica por el mínimo común denominador $3$ , luego simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{3}$ al numerador.

$3 (\frac{- x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{- x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Paso 1.2.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$- x^{2} + 6 x + 3 \cdot 3 = 0$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Paso 1.2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 6$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 9)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.3

Suma $36$ y $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $72$ como $6^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.6.1.4.1

Factoriza $36$ de $72$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.4.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.3

Suma $36$ y $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.4

Reescribe $72$ como $6^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.7.1.4.1

Factoriza $36$ de $72$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.4.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Paso 1.2.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 3 + 3 \sqrt{2}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.8.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.3

Suma $36$ y $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.4

Reescribe $72$ como $6^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.8.1.4.1

Factoriza $36$ de $72$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.4.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Paso 1.2.8.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Paso 1.2.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 3 - 3 \sqrt{2}$

Paso 1.2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 3 + 3 \sqrt{2}, 3 - 3 \sqrt{2}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(3 + 3 \sqrt{2}, 0), (3 - 3 \sqrt{2}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{3} \cdot 0^{2} + 2 (0) + 3$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$

Paso 2.2.3

Simplifica $- \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$ .

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 (0) + 3$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Paso 2.2.3.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{3}) + 2 (0) + 3$

Paso 2.2.3.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$y = 0 + 2 (0) + 3$

Paso 2.2.3.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 3$

Paso 2.2.3.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.3.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 3$

Paso 2.2.3.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$y = 3$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 3)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(3 + 3 \sqrt{2}, 0), (3 - 3 \sqrt{2}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 3)$

Paso 4