Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x + 5}{5 x^{4} + 2 x - 3}$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = \frac{3 x^{2} + 4 x + 5}{5 x^{4} + 2 x - 3}$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{2} + 4 x + 5 = 0$

Paso 1.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.2.2

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = 4$ y $c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 1.2.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 60}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.1.3

Resta $60$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.1.4

Reescribe $- 44$ como $- 1 (44)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (44)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{44}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.1.7

Reescribe $44$ como $2^{2} \cdot 11$ .

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Paso 1.2.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $44$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{11})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{11}}{6}$

Paso 1.2.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{11}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{11}}{3}$

Paso 1.2.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 1.2.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 60}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.1.3

Resta $60$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.1.4

Reescribe $- 44$ como $- 1 (44)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (44)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{44}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.1.7

Reescribe $44$ como $2^{2} \cdot 11$ .

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Paso 1.2.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $44$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{11})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{11}}{6}$

Paso 1.2.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{11}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{11}}{3}$

Paso 1.2.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 2 + i \sqrt{11}}{3}$

Paso 1.2.2.4.5

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + i \sqrt{11}}{3}$

Paso 1.2.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (- i \sqrt{11})}{3}$

Paso 1.2.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (- i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - i \sqrt{11})}{3}$

Paso 1.2.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 - i \sqrt{11}}{3}$

Paso 1.2.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 1.2.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 60}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.1.3

Resta $60$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.1.4

Reescribe $- 44$ como $- 1 (44)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (44)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{44}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{44}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.1.7

Reescribe $44$ como $2^{2} \cdot 11$ .

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Paso 1.2.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $44$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{11})}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Paso 1.2.2.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{11}}{6}$

Paso 1.2.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{11}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{11}}{3}$

Paso 1.2.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 2 - i \sqrt{11}}{3}$

Paso 1.2.2.5.5

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - i \sqrt{11}}{3}$

Paso 1.2.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (i \sqrt{11})}{3}$

Paso 1.2.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + i \sqrt{11})}{3}$

Paso 1.2.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 + i \sqrt{11}}{3}$

Paso 1.2.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{2 - i \sqrt{11}}{3}, - \frac{2 + i \sqrt{11}}{3}$

Paso 1.3

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

Intersección(es) con x: $Ninguna$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = \frac{3 {(0)}^{2} + 4 (0) + 5}{5 {(0)}^{4} + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3 \cdot 0^{2} + 4 (0) + 5}{5 {(0)}^{4} + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3 \cdot 0^{2} + 4 (0) + 5}{5 \cdot 0^{4} + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3 {(0)}^{2} + 4 (0) + 5}{5 {(0)}^{4} + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2.4

Simplifica $\frac{3 {(0)}^{2} + 4 (0) + 5}{5 {(0)}^{4} + 2 (0) - 3}$ .

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Paso 2.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \frac{3 \cdot 0 + 4 (0) + 5}{5 \cdot 0^{4} + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$y = \frac{0 + 4 (0) + 5}{5 \cdot 0^{4} + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2.4.1.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 5}{5 \cdot 0^{4} + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2.4.1.4

Suma $0$ y $0$ .

$y = \frac{0 + 5}{5 \cdot 0^{4} + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2.4.1.5

Suma $0$ y $5$ .

$y = \frac{5}{5 \cdot 0^{4} + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \frac{5}{5 \cdot 0 + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2.4.2.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$y = \frac{5}{0 + 2 (0) - 3}$

Paso 2.2.4.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$y = \frac{5}{0 + 0 - 3}$

Paso 2.2.4.2.4

Suma $0$ y $0$ .

$y = \frac{5}{0 - 3}$

Paso 2.2.4.2.5

Resta $3$ de $0$ .

$y = \frac{5}{- 3}$

Paso 2.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{5}{3}$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, - \frac{5}{3})$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $Ninguna$

Intersección(es) con y: $(0, - \frac{5}{3})$

Paso 4