Matemática discreta Ejemplos

$3 x^{4} - 4 x^{2} + 10$

Paso 1

Escribe $3 x^{4} - 4 x^{2} + 10$ como una ecuación.

$y = 3 x^{4} - 4 x^{2} + 10$

Paso 2

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = 3 x^{4} - 4 x^{2} + 10$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{4} - 4 x^{2} + 10 = 0$ .

$3 x^{4} - 4 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.2.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$3 u^{2} - 4 u + 10 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2.2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2.4

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 4$ y $c = 10$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 10)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Paso 2.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $10$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 120}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.1.3

Resta $120$ de $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.1.4

Reescribe $- 104$ como $- 1 (104)$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (104)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.1.7

Reescribe $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

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Paso 2.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $104$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{26})}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$ .

$u = \frac{2 \pm i \sqrt{26}}{3}$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Paso 2.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $10$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 120}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.1.3

Resta $120$ de $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.1.4

Reescribe $- 104$ como $- 1 (104)$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (104)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.1.7

Reescribe $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

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Paso 2.2.6.1.7.1

Factoriza $4$ de $104$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{26})}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$

Paso 2.2.6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$ .

$u = \frac{2 \pm i \sqrt{26}}{3}$

Paso 2.2.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{2 + i \sqrt{26}}{3}$

Paso 2.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.7.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

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Paso 2.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $10$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 120}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.1.3

Resta $120$ de $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.1.4

Reescribe $- 104$ como $- 1 (104)$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (104)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.1.7

Reescribe $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

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Paso 2.2.7.1.7.1

Factoriza $4$ de $104$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{26})}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$u = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$

Paso 2.2.7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{26}}{6}$ .

$u = \frac{2 \pm i \sqrt{26}}{3}$

Paso 2.2.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{2 - i \sqrt{26}}{3}$

Paso 2.2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{2 + i \sqrt{26}}{3}, \frac{2 - i \sqrt{26}}{3}$

Paso 2.2.9

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{2 + i \sqrt{26}}{3}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{2 - i \sqrt{26}}{3}$

Paso 2.2.10

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{2 + i \sqrt{26}}{3}$

Paso 2.2.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 + i \sqrt{26}}{3}}$

Paso 2.2.11.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{2 + i \sqrt{26}}{3}}$ .

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Paso 2.2.11.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + i \sqrt{26}}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.11.2.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.11.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.11.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.11.2.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.11.2.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.2.11.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.11.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2.11.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.2.11.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.11.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.11.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.11.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.11.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.11.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.2.11.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 + i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.11.2.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.2.11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.11.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.2.11.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.2.11.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.2.12

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{2 - i \sqrt{26}}{3}$

Paso 2.2.13

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.13.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = \frac{2 - i \sqrt{26}}{3}$

Paso 2.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 - i \sqrt{26}}{3}}$

Paso 2.2.13.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{2 - i \sqrt{26}}{3}}$ .

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Paso 2.2.13.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{2 - i \sqrt{26}}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.13.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.2.13.3.3

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.13.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.13.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.2.13.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.2.13.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.13.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.2.13.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.2.13.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.13.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.13.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.13.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.13.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.13.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.2.13.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 - i \sqrt{26}} \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.2.13.3.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.2.13.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.13.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.2.13.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.2.13.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.2.14

La solución a $3 x^{4} - 4 x^{2} + 10 = 0$ es $x = \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 + i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}, - \frac{\sqrt{(2 - i \sqrt{26}) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.3

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

Intersección(es) con x: $Ninguna$

Paso 3

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 3.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 10$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \cdot 0^{4} - 4 {(0)}^{2} + 10$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \cdot 0^{4} - 4 \cdot 0^{2} + 10$

Paso 3.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 10$

Paso 3.2.4

Simplifica $3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 10$ .

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Paso 3.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} + 10$

Paso 3.2.4.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$y = 0 - 4 {(0)}^{2} + 10$

Paso 3.2.4.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 + 10$

Paso 3.2.4.1.4

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 10$

Paso 3.2.4.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.2.4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 + 10$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $0$ y $10$ .

$y = 10$

Paso 3.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 10)$

Paso 4

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $Ninguna$

Intersección(es) con y: $(0, 10)$

Paso 5