Matemática discreta Ejemplos

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $e^{- x} \cdot \ln (x)$ no está definida.

$x \leq 0$

Paso 1.2

Como $e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 1.3

Evalúa $lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 1.3.1

Reescribe $e^{- x} \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Paso 1.3.2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.3.2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.3.2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 1.3.2.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 1.3.2.1.3

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 1.3.2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 1.3.2.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 1.3.2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Paso 1.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Paso 1.3.2.5

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Paso 1.3.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x e^{x}}$ se acerca a $0$ .

$0$

Paso 1.4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 0$

Paso 1.5

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

Paso 2.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $0$ .

$f (1) = 0$

Paso 2.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Convierte $0$ a decimal.

$y = 0$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{e^{2}}$ y $\ln (2)$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Paso 3.3

Convierte $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ a decimal.

$y = 0.09380727$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{e^{3}}$ y $\ln (3)$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Paso 4.3

Convierte $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ a decimal.

$y = 0.05469668$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 0$ y los puntos $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Asíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Paso 6