Matemática discreta Ejemplos

y = e^{- x} \cdot ln (x)

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión

e^{- x} \cdot ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$ no está definida.

x \leq 0

$x \leq 0$

Paso 1.2

Como

e^{- x} \cdot ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ a medida que

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ desde la izquierda y

e^{- x} \cdot ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ a medida que

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ desde la derecha, entonces

x = 0

$x = 0$ es una asíntota vertical.

x = 0

$x = 0$

Paso 1.3

Evalúa

lim x \to \infty e^{- x} ln (x)

$lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 1.3.1

Reescribe

e^{- x} ln (x)

$e^{- x} \ln (x)$ como

\frac{ln (x)}{e^{x}}

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ .

lim x \to \infty \frac{ln (x)}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Paso 1.3.2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.3.2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.3.2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

\frac{lim x \to \infty ln (x)}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 1.3.2.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Paso 1.3.2.1.3

Como el exponente

x

$x$ se acerca a

\infty

$\infty$ , la cantidad

e^{x}

$e^{x}$ se acerca a

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.2.2

Como

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

lim x \to \infty \frac{ln (x)}{e^{x}} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 1.3.2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 1.3.2.3.2

La derivada de

ln (x)

$\ln (x)$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 1.3.2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es

a^{x} ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ donde

a

$a$ =

e

$e$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Paso 1.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

lim x \to \infty \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Paso 1.3.2.5

Multiplica

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ por

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ .

lim x \to \infty \frac{1}{x e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

lim x \to \infty \frac{1}{x e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Paso 1.3.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción

\frac{1}{x e^{x}}

$\frac{1}{x e^{x}}$ se acerca a

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Paso 1.4

Enumera las asíntotas horizontales:

y = 0

$y = 0$

Paso 1.5

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales:

x = 0

$x = 0$

Asíntotas horizontales:

y = 0

$y = 0$

Asíntotas verticales:

x = 0

$x = 0$

Asíntotas horizontales:

y = 0

$y = 0$

Paso 2

Obtén el punto en

x = 1

$x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

1

$1$ en la expresión.

f (1) = e^{- (1)} \cdot ln (1)

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

f (1) = e^{- 1} \cdot ln (1)

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f (1) = \frac{1}{e} \cdot ln (1)

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

Paso 2.2.3

El logaritmo natural de

1

$1$ es

0

$0$ .

f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

Paso 2.2.4

Multiplica

\frac{1}{e}

$\frac{1}{e}$ por

0

$0$ .

f (1) = 0

$f (1) = 0$

Paso 2.2.5

La respuesta final es

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Paso 2.3

Convierte

0

$0$ a decimal.

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

Paso 3

Obtén el punto en

x = 2

$x = 2$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

2

$2$ en la expresión.

f (2) = e^{- (2)} \cdot ln (2)

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

f (2) = e^{- 2} \cdot ln (2)

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

Paso 3.2.3

Combina

$\frac{1}{e^{2}}$ y

$\ln (2)$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Paso 3.2.4

La respuesta final es

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Paso 3.3

Convierte

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ a decimal.

$y = 0.09380727$

Paso 4

Obtén el punto en

$x = 3$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$3$ en la expresión.

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$3$ .

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

Paso 4.2.3

Combina

$\frac{1}{e^{3}}$ y

$\ln (3)$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Paso 4.3

Convierte

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ a decimal.

$y = 0.05469668$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en

$x = 0$ y los puntos

$(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Asíntota vertical:

$x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Paso 6