Matemática discreta Ejemplos

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ no está definida.

$x \leq - 5, x = 0$

Paso 1.2

Como $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 5$ desde la izquierda y $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 5$ desde la derecha, entonces $x = - 5$ es una asíntota vertical.

$x = - 5$

Paso 1.3

Como $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 1.4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 5, 0$

Paso 1.5

Ignora el logaritmo y considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 1.6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Paso 1.7

Como $n < m$ , el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

$y = 0$

Paso 1.8

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 5, 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Asíntotas verticales: $x = - 5, 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica $5 \ln (1 + 5)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

Paso 2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

Paso 2.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.1

Suma $1$ y $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

Paso 2.2.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

Paso 2.2.4

Divide $\ln (7776)$ por $1$ .

$f (1) = \ln (7776)$

Paso 2.2.5

La respuesta final es $\ln (7776)$ .

$\ln (7776)$

Paso 2.3

Convierte $\ln (7776)$ a decimal.

$y = 8.95879734$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica $5 \ln (2 + 5)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.3.1

Suma $2$ y $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

Paso 3.2.3.2

Eleva $7$ a la potencia de $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

Paso 3.2.4

Reescribe $\frac{\ln (16807)}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

Paso 3.2.5

Simplifica $\frac{1}{4} \ln (16807)$ al mover $\frac{1}{4}$ dentro del algoritmo.

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Paso 3.3

Convierte $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ a decimal.

$y = 2.43238768$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica $5 \ln (3 + 5)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Suma $3$ y $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

Paso 4.2.3.2

Eleva $8$ a la potencia de $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

Paso 4.2.4

Reescribe $\ln (32768)$ como $\ln (2^{15})$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

Paso 4.2.5

Expande $\ln (2^{15})$ ; para ello, mueve $15$ fuera del logaritmo.

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de $15$ y $9$ .

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Paso 4.2.6.1

Factoriza $3$ de $15 \ln (2)$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

Paso 4.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

Paso 4.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

Paso 4.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

Paso 4.2.7

Simplifica $5 \ln (2)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

Paso 4.2.8

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

Paso 4.2.9

Reescribe $\frac{\ln (32)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (32)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

Paso 4.2.10

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (32)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.2.11

La respuesta final es $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.3

Convierte $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ a decimal.

$y = 1.1552453$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = - 5, 0$ y los puntos $(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

Asíntota vertical: $x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

Paso 6