Matemática discreta Ejemplos

y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén dónde la expresión

\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ no está definida.

x \leq - 5, x = 0

$x \leq - 5, x = 0$

Paso 1.2

Como

\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ a medida que

x

$x$

\to

$\to$

- 5

$- 5$ desde la izquierda y

\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ a medida que

x

$x$

\to

$\to$

- 5

$- 5$ desde la derecha, entonces

x = - 5

$x = - 5$ es una asíntota vertical.

x = - 5

$x = - 5$

Paso 1.3

Como

\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ a medida que

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ desde la izquierda y

\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ a medida que

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ desde la derecha, entonces

x = 0

$x = 0$ es una asíntota vertical.

x = 0

$x = 0$

Paso 1.4

Enumera todas las asíntotas verticales:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

Paso 1.5

Ignora el logaritmo y considera la función racional

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde

n

$n$ es el grado del numerador y

m

$m$ es el grado del denominador.

1. Si

n < m

$n < m$ , entonces el eje x,

y = 0

$y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si

n = m

$n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Si

n > m

$n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 1.6

Obtén

n

$n$ y

m

$m$ .

n = 0

$n = 0$

m = 2

$m = 2$

Paso 1.7

Como

n < m

$n < m$ , el eje x,

y = 0

$y = 0$ , es la asíntota horizontal.

y = 0

$y = 0$

Paso 1.8

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

Asíntotas horizontales:

y = 0

$y = 0$

Asíntotas verticales:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

Asíntotas horizontales:

y = 0

$y = 0$

Paso 2

Obtén el punto en

x = 1

$x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

1

$1$ en la expresión.

f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica

5 \ln (1 + 5)

$5 \ln (1 + 5)$ al mover

5

$5$ dentro del algoritmo.

f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

Paso 2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

Paso 2.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Suma

1

$1$ y

5

$5$ .

f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

Paso 2.2.3.2

Eleva

6

$6$ a la potencia de

5

$5$ .

f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

Paso 2.2.4

Divide

\ln (7776)

$\ln (7776)$ por

1

$1$ .

f (1) = \ln (7776)

$f (1) = \ln (7776)$

Paso 2.2.5

La respuesta final es

\ln (7776)

$\ln (7776)$ .

\ln (7776)

$\ln (7776)$

\ln (7776)

$\ln (7776)$

Paso 2.3

Convierte

\ln (7776)

$\ln (7776)$ a decimal.

y = 8.95879734

$y = 8.95879734$

y = 8.95879734

$y = 8.95879734$

Paso 3

Obtén el punto en

x = 2

$x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

2

$2$ en la expresión.

f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica

5 \ln (2 + 5)

$5 \ln (2 + 5)$ al mover

5

$5$ dentro del algoritmo.

f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Suma

2

$2$ y

5

$5$ .

f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

Paso 3.2.3.2

Eleva

7

$7$ a la potencia de

5

$5$ .

f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

Paso 3.2.4

Reescribe

\frac{\ln (16807)}{4}

$\frac{\ln (16807)}{4}$ como

\frac{1}{4} \ln (16807)

$\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

Paso 3.2.5

Simplifica

\frac{1}{4} \ln (16807)

$\frac{1}{4} \ln (16807)$ al mover

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ dentro del algoritmo.

f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Paso 3.2.6

La respuesta final es

\ln (16807^{\frac{1}{4}})

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

\ln (16807^{\frac{1}{4}})

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

\ln (16807^{\frac{1}{4}})

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Paso 3.3

Convierte

\ln (16807^{\frac{1}{4}})

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ a decimal.

y = 2.43238768

$y = 2.43238768$

y = 2.43238768

$y = 2.43238768$

Paso 4

Obtén el punto en

x = 3

$x = 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable

x

$x$ con

3

$3$ en la expresión.

f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica

5 \ln (3 + 5)

$5 \ln (3 + 5)$ al mover

5

$5$ dentro del algoritmo.

f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva

3

$3$ a la potencia de

2

$2$ .

f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Suma

3

$3$ y

5

$5$ .

f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

Paso 4.2.3.2

Eleva

8

$8$ a la potencia de

5

$5$ .

f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

Paso 4.2.4

Reescribe

\ln (32768)

$\ln (32768)$ como

\ln (2^{15})

$\ln (2^{15})$ .

f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

Paso 4.2.5

Expande

\ln (2^{15})

$\ln (2^{15})$ ; para ello, mueve

15

$15$ fuera del logaritmo.

f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de

15

$15$ y

9

$9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.6.1

Factoriza

3

$3$ de

15 \ln (2)

$15 \ln (2)$ .

f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

Paso 4.2.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.6.2.1

Factoriza

3

$3$ de

9

$9$ .

f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

Paso 4.2.6.2.2

Cancela el factor común.

f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

Paso 4.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

Paso 4.2.7

Simplifica

5 \ln (2)

$5 \ln (2)$ al mover

5

$5$ dentro del algoritmo.

f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

Paso 4.2.8

Eleva

2

$2$ a la potencia de

5

$5$ .

f (3) = \frac{\ln (32)}{3}

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

Paso 4.2.9

Reescribe

\frac{\ln (32)}{3}

$\frac{\ln (32)}{3}$ como

\frac{1}{3} \ln (32)

$\frac{1}{3} \ln (32)$ .

f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

Paso 4.2.10

Simplifica

\frac{1}{3} \ln (32)

$\frac{1}{3} \ln (32)$ al mover

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.2.11

La respuesta final es

\ln (32^{\frac{1}{3}})

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

\ln (32^{\frac{1}{3}})

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

\ln (32^{\frac{1}{3}})

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

Paso 4.3

Convierte

\ln (32^{\frac{1}{3}})

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ a decimal.

y = 1.1552453

$y = 1.1552453$

y = 1.1552453

$y = 1.1552453$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$ y los puntos

(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)

$(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

Asíntota vertical:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

Paso 6