Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} + (p + 1) x + 2 p - 1 = 0$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + p x + 1 x + 2 p - 1 = 0$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + p x + x + 2 p - 1 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = p + 1$ y $c = 2 p - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- (p + 1) \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 p - 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- p - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{{(p + 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Reescribe ${(p + 1)}^{2}$ como $(p + 1) (p + 1)$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p + 1) (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Expande $(p + 1) (p + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p (p + 1) + 1 (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p \cdot p + p \cdot 1 + 1 (p + 1) - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p \cdot p + p \cdot 1 + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.1.1

Multiplica $p$ por $p$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p \cdot 1 + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.1.2

Multiplica $p$ por $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + 1 p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.1.3

Multiplica $p$ por $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + p + 1 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + p + p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.2

Suma $p$ y $p$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 \cdot (2 p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 4 (2 p) - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 8 p - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.9

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} + 2 p + 1 - 8 p + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.10

Resta $8 p$ de $2 p$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} - 6 p + 1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.11

Suma $1$ y $4$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{p^{2} - 6 p + 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.12

Factoriza $p^{2} - 6 p + 5$ con el método AC.

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Paso 4.1.12.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 4.1.12.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- p - 1 \pm \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{p + 1 - \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}$

$x = - \frac{p + 1 + \sqrt{(p - 5) (p - 1)}}{2}$