Matemática discreta Ejemplos

$\log_{b} (x) = \frac{3}{2} \cdot \log_{b} (9) - \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $\log_{b} (9)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2}{3} \log_{b} (27)$

Paso 1.1.2

Combina $\log_{b} (27)$ y $\frac{2}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{\log_{b} (27) \cdot 2}{3}$

Paso 1.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$

Paso 2

Multiplica cada término en $\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ por $6$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ por $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $6$ a la izquierda de $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (9) \cdot 3 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ al numerador.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

Paso 2.3.1.3.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 (2))$

Paso 2.3.1.3.3

Cancela el factor común.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Paso 2.3.1.3.4

Reescribe la expresión.

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 2 \log_{b} (27) \cdot 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $6 \log_{b} (x)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Simplifica $9 \log_{b} (9)$ al mover $9$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (9^{9}) - 4 \log_{b} (27)$

Paso 4.1.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $9$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - 4 \log_{b} (27)$

Paso 4.1.1.3

Simplifica $- 4 \log_{b} (27)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (27^{4})$

Paso 4.1.1.4

Eleva $27$ a la potencia de $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (531441)$

Paso 4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{387420489}{531441})$

Paso 4.1.3

Divide $387420489$ por $531441$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (729)$

Paso 5

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{6} = 729$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{729}$

Paso 6.2

Simplifica $\pm \sqrt[6]{729}$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $729$ como $3^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{3^{6}}$

Paso 6.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 6.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 6.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$