Matemática discreta Ejemplos

$\frac{50}{1 + 4 e^{0.2 t}} = 20$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $1 + 4 e^{0.2 t}$ .

$\frac{50}{1 + 4 e^{0.2 t}} (1 + 4 e^{0.2 t}) = 20 (1 + 4 e^{0.2 t})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $1 + 4 e^{0.2 t}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{50}{1 + 4 e^{0.2 t}} (1 + 4 e^{0.2 t}) = 20 (1 + 4 e^{0.2 t})$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$50 = 20 (1 + 4 e^{0.2 t})$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $20 (1 + 4 e^{0.2 t})$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$50 = 20 \cdot 1 + 20 (4 e^{0.2 t})$

Paso 2.2.1.2

Multiplica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $20$ por $1$ .

$50 = 20 + 20 (4 e^{0.2 t})$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $20$ .

$50 = 20 + 80 e^{0.2 t}$

Paso 3

Resuelve $t$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $20 + 80 e^{0.2 t} = 50$ .

$20 + 80 e^{0.2 t} = 50$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $t$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$80 e^{0.2 t} = 50 - 20$

Paso 3.2.2

Resta $20$ de $50$ .

$80 e^{0.2 t} = 30$

Paso 3.3

Divide cada término en $80 e^{0.2 t} = 30$ por $80$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $80 e^{0.2 t} = 30$ por $80$ .

$\frac{80 e^{0.2 t}}{80} = \frac{30}{80}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $80$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{80 e^{0.2 t}}{80} = \frac{30}{80}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $e^{0.2 t}$ por $1$ .

$e^{0.2 t} = \frac{30}{80}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $30$ y $80$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $10$ de $30$ .

$e^{0.2 t} = \frac{10 (3)}{80}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $10$ de $80$ .

$e^{0.2 t} = \frac{10 \cdot 3}{10 \cdot 8}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e^{0.2 t} = \frac{10 \cdot 3}{10 \cdot 8}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{0.2 t} = \frac{3}{8}$

Paso 3.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{0.2 t}) = \ln (\frac{3}{8})$

Paso 3.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Expande $\ln (e^{0.2 t})$ ; para ello, mueve $0.2 t$ fuera del logaritmo.

$0.2 t \ln (e) = \ln (\frac{3}{8})$

Paso 3.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$0.2 t \cdot 1 = \ln (\frac{3}{8})$

Paso 3.5.3

Multiplica $0.2$ por $1$ .

$0.2 t = \ln (\frac{3}{8})$

Paso 3.6

Divide cada término en $0.2 t = \ln (\frac{3}{8})$ por $0.2$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $0.2 t = \ln (\frac{3}{8})$ por $0.2$ .

$\frac{0.2 t}{0.2} = \frac{\ln (\frac{3}{8})}{0.2}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $0.2$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.2 t}{0.2} = \frac{\ln (\frac{3}{8})}{0.2}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{3}{8})}{0.2}$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.1

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$t = \frac{\log_{2.71828182} (\frac{3}{8})}{0.2}$

Paso 3.6.3.2

Divide $3$ por $8$ .

$t = \frac{\log_{2.71828182} (0.375)}{0.2}$

Paso 3.6.3.3

El logaritmo en base $2.71828182$ de $0.375$ es aproximadamente $- 0.98082925$ .

$t = \frac{- 0.98082925}{0.2}$

Paso 3.6.3.4

Divide $- 0.98082925$ por $0.2$ .

$t = - 4.90414626$