Matemática discreta Ejemplos

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Paso 2

Factoriza cada término.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2} - 7 x + 12$ con el método AC.

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Paso 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 2.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(x - 4) (x - 3), 1$

Paso 3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(x - 4) (x - 3)$

Paso 4

Multiplica cada término en $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ por $(x - 4) (x - 3)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ por $(x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $(x - 4) (x - 3)$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.2.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Expande $(x - 4) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

Paso 4.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

Paso 4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Paso 4.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Paso 4.3.2.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

Paso 4.3.2.2

Resta $4 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

Paso 4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

Paso 4.3.4

Simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

Paso 4.3.4.2

Mueve $12$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

Paso 5.2

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

Paso 5.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

Paso 5.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5

Sustituye los valores $a = y - 1$ , $b = - 7 y$ y $c = 12 y + 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Aplica la regla del producto a $- 7 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.2

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.5

Expande $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.6.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.6.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.6.1.2.1

Mueve $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.6.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.6.1.3

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.6.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.6.1.5

Multiplica $12$ por $4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.6.1.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.6.2

Suma $- 4 y$ y $48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.6.7

Resta $48 y^{2}$ de $49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Paso 5.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$