Matemática discreta Ejemplos

a (n) = \frac{1}{3} \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})

$a (n) = \frac{1}{3} \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Usa la regla de la potencia

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la regla del producto a

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}))

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}))$

Paso 1.1.1.2

Aplica la regla del producto a

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))$

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))$

Paso 1.1.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

{(- 1)}^{n - 1}

${(- 1)}^{n - 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.1

Mueve

{(- 1)}^{n - 1}

${(- 1)}^{n - 1}$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.2.2

Multiplica

{(- 1)}^{n - 1}

${(- 1)}^{n - 1}$ por

- 1

$- 1$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Eleva

- 1

$- 1$ a la potencia de

1

$1$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.2.3

Combina los términos opuestos en

n - 1 + 1

$n - 1 + 1$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Suma

- 1

$- 1$ y

1

$1$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n + 0} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n + 0} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.2.3.2

Suma

n

$n$ y

0

$0$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.4

Combina

{(- 1)}^{n}

${(- 1)}^{n}$ y

\frac{1}{2^{n - 1}}

$\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}})$

a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}})

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

a n = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}

$a n = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

Paso 1.3

Multiplica

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ por

1

$1$ .

a n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

Paso 1.4

Combinar.

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1 {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Paso 1.5

Multiplica

${(- 1)}^{n}$ por

$1$ .

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Paso 2

Divide cada término en

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por

$n$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por

$n$ .

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de

$n$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.2.1.2

Divide

$a$ por

$1$ .

$a = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a = \frac{\frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1

Para escribir

$\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ .

$a = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica

$\frac{1}{3}$ por

$\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ .

$a = \frac{\frac{2^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a = \frac{\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}} \cdot \frac{1}{n}$

Paso 2.3.4

Multiplica

$\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por

$\frac{1}{n}$ .

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$

Paso 2.3.5

Reordena los factores en

$\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$ .

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 n \cdot 2^{n - 1}}$