Matemática discreta Ejemplos

$a (n) = \frac{1}{3} \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}))$

Paso 1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))$

Paso 1.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{n - 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{n - 1}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{n - 1}$ por $- 1$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.2.3

Combina los términos opuestos en $n - 1 + 1$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n + 0} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.2.3.2

Suma $n$ y $0$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n - 1}})$

Paso 1.1.4

Combina ${(- 1)}^{n}$ y $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}})$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a n = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

Paso 1.4

Combinar.

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1 {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Paso 1.5

Multiplica ${(- 1)}^{n}$ por $1$ .

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Paso 2

Divide cada término en $a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por $n$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por $n$ .

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a = \frac{\frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ .

$a = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ .

$a = \frac{\frac{2^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a = \frac{\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Paso 2.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}} \cdot \frac{1}{n}$

Paso 2.3.4

Multiplica $\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ por $\frac{1}{n}$ .

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$

Paso 2.3.5

Reordena los factores en $\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$ .

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 n \cdot 2^{n - 1}}$