Matemática discreta Ejemplos

$z = \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1} = z$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1} = z$

Paso 2

Resuelve $\sqrt{1 - x^{2}}$

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1^{2}} = z$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{(y + 1) (y - 1)} = z$

Paso 2.2

Resta $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{1 - x^{2}} = z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica.

$1 - x^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica ${(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe ${(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$ como $(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ .

$1 - x^{2} = (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Paso 4.3.1.2

Expande $(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - x^{2} = z (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Paso 4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - x^{2} = z \cdot z + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Paso 4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - x^{2} = z \cdot z + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Paso 4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.3.1.1

Multiplica $z$ por $z$ .

$1 - x^{2} = z^{2} + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Paso 4.3.1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Paso 4.3.1.3.1.3

Multiplica $- \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ .

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Paso 4.3.1.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + 1 \sqrt{(y + 1) (y - 1)} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 4.3.1.3.1.3.2

Multiplica $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ por $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + \sqrt{(y + 1) (y - 1)} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 4.3.1.3.1.3.3

Eleva $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Paso 4.3.1.3.1.3.4

Eleva $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1} {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1}$

Paso 4.3.1.3.1.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1 + 1}$

Paso 4.3.1.3.1.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{2}$

Paso 4.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{2}$ como $(y + 1) (y - 1)$ .

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Paso 4.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ como ${((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {({((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 4.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 4.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{1}$

Paso 4.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + (y + 1) (y - 1)$

Paso 4.3.1.3.1.5

Expande $(y + 1) (y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.3.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y (y - 1) + 1 (y - 1)$

Paso 4.3.1.3.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)$

Paso 4.3.1.3.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1$

Paso 4.3.1.3.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1.3.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.3.1.6.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1$

Paso 4.3.1.3.1.6.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1$

Paso 4.3.1.3.1.6.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1$

Paso 4.3.1.3.1.6.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1$

Paso 4.3.1.3.1.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + y - 1$

Paso 4.3.1.3.1.6.2

Suma $- y$ y $y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} + 0 - 1$

Paso 4.3.1.3.1.6.3

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - 1$

Paso 4.3.1.3.2

Reordena los factores de $- \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1$

Paso 4.3.1.3.3

Resta $z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ de $- z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1 - 1$

Paso 5.1.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$

Paso 5.2

Divide cada término en $- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{z^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot z^{2} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot z^{2}$ como $- z^{2}$ .

$x^{2} = - z^{2} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1}$ .

$x^{2} = - z^{2} - 1 \cdot (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ como $- (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ .

$x^{2} = - z^{2} - (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 (z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.3.1.6

Mueve el negativo del denominador de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.3.1.7

Reescribe $- 1 \cdot y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.3.1.8

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2$

Paso 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

Paso 5.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

Paso 5.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

Paso 5.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$