Matemática discreta Ejemplos

$10 ({1.05}^{x}) = 11 ({1.04}^{x})$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (10 \cdot {1.05}^{x}) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe $\ln (10 \cdot {1.05}^{x})$ como $\ln (10) + \ln ({1.05}^{x})$ .

$\ln (10) + \ln ({1.05}^{x}) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Paso 2.2

Expande $\ln ({1.05}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11 \cdot {1.04}^{x})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe $\ln (11 \cdot {1.04}^{x})$ como $\ln (11) + \ln ({1.04}^{x})$ .

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11) + \ln ({1.04}^{x})$

Paso 3.2

Expande $\ln ({1.04}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (10) + x \ln (1.05) = \ln (11) + x \ln (1.04)$

Paso 4

Reordena $\ln (10)$ y $x \ln (1.05)$ .

$x \ln (1.05) + \ln (10) = \ln (11) + x \ln (1.04)$

Paso 5

Reordena $\ln (11)$ y $x \ln (1.04)$ .

$x \ln (1.05) + \ln (10) = x \ln (1.04) + \ln (11)$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (1.05) + \ln (10) - x \ln (1.04) - \ln (11) = 0$

Paso 7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.05) - x \ln (1.04) + \ln (\frac{10}{11}) = 0$

Paso 8

Resta $\ln (\frac{10}{11})$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (1.05) - x \ln (1.04) = - \ln (\frac{10}{11})$

Paso 9

Factoriza $x$ de $x \ln (1.05) - x \ln (1.04)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Factoriza $x$ de $x \ln (1.05)$ .

$x (\ln (1.05)) - x \ln (1.04) = - \ln (\frac{10}{11})$

Paso 9.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (1.04)$ .

$x (\ln (1.05)) + x (- 1 \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Paso 9.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (1.05)) + x (- 1 \ln (1.04))$ .

$x (\ln (1.05) - 1 \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Paso 10

Reescribe $- 1 \ln (1.04)$ como $- \ln (1.04)$ .

$x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$

Paso 11

Divide cada término en $x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$ por $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Divide cada término en $x (\ln (1.05) - \ln (1.04)) = - \ln (\frac{10}{11})$ por $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ .

$\frac{x (\ln (1.05) - \ln (1.04))}{\ln (1.05) - \ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Paso 11.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $\ln (1.05) - \ln (1.04)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (1.05) - \ln (1.04))}{\ln (1.05) - \ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Paso 11.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Paso 11.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (\frac{10}{11})}{\ln (1.05) - \ln (1.04)}$

Forma decimal:

$x = 9.95983778 \dots$