Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} = 4$

Paso 1

Resta $\sqrt[3]{y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 4 - \sqrt[3]{y^{2}}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Usa el teorema del binomio.

$x^{2} = 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$x^{2} = 64 + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} = 64 + 3 \cdot 16 (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.3

Multiplica $3$ por $16$ .

$x^{2} = 64 + 48 (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $48$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.5

Multiplica $3$ por $4$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.6

Aplica la regla del producto a $- \sqrt[3]{y^{2}}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 (1 {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.8

Multiplica ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.9

Reescribe ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.10

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.2.10.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{4}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.11

Factoriza $y^{3}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{3} y} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.12

Retira los términos de abajo del radical.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 (y \sqrt[3]{y}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.13

Aplica la regla del producto a $- \sqrt[3]{y^{2}}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} + {(- 1)}^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$

Paso 3.3.1.2.14

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$

Paso 3.3.1.2.15

Reescribe ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ como $y^{2}$ .

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Paso 3.3.1.2.15.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y^{2}}$ como $y^{\frac{2}{3}}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - {(y^{\frac{2}{3}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2.15.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2}{3} \cdot 3}$

Paso 3.3.1.2.15.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}$

Paso 3.3.1.2.15.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{6}{3}}$

Paso 3.3.1.2.15.5

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 3.3.1.2.15.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}$

Paso 3.3.1.2.15.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.1.2.15.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}$

Paso 3.3.1.2.15.5.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}$

Paso 3.3.1.2.15.5.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2}{1}}$

Paso 3.3.1.2.15.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

Paso 4.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

Paso 4.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

Paso 4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$