Matemática discreta Ejemplos

$\frac{5 - 3 x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2 x + 2}{x + 3} = \frac{3 - x}{x + 1}$

Paso 1

Resta $\frac{3 - x}{x + 1}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{5 - 3 x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2 x + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{5 - 3 x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2 x + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Factoriza $x^{2} + 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 2.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 2.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 x + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $2 x + 2$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x) + 2}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x) + 2 (1)}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1)}{x + 3} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - (\frac{2 (x + 1)}{x + 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)} - \frac{3 - x}{x + 1} = 0$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{3 - x}{x + 1}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)} - (\frac{3 - x}{x + 1} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}) = 0$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{3 - x}{x + 1}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)} - \frac{(3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.2.5

Reordena los factores de $(x + 3) (x + 1)$ .

$\frac{5 - 3 x}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{(3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 - 3 x - 2 (x + 1) (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - 3 x + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{5 - 3 x + (- 2 x - 2) (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.3

Expande $(- 2 x - 2) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x (x + 1) - 2 (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 (x + 1) - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 x - 2 \cdot 1 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 x - 2 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.4.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - (3 - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 1 \cdot 3 - - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 3 - - x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.7

Multiplica $- - x$ .

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Paso 2.4.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 3 + 1 x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + (- 3 + x) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.8

Expande $(- 3 + x) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 (x + 3) + x (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3 + x (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.9

Combina los términos opuestos en $- 3 x - 3 \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3$ .

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Paso 2.4.9.1

Reordena los factores en los términos $- 3 x$ y $x \cdot 3$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3 + x \cdot x + 3 x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.9.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 + 0 - 3 \cdot 3 + x \cdot x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.9.3

Resta $3 \cdot 3$ de $0$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 3 \cdot 3 + x \cdot x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.10

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.10.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 9 + x \cdot x}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.4.10.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 - 3 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 - 9 + x^{2}}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.5

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{- 3 x - 2 x^{2} - 4 x + 3 - 9 + x^{2}}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.6

Resta $4 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 7 x + 3 - 9 + x^{2}}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.7

Suma $- 2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 7 x + 3 - 9}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.8

Resta $9$ de $3$ .

$\frac{- x^{2} - 7 x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.9

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.9.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 6 = 6$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 2.9.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$\frac{- x^{2} - 7 (x) - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.9.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 1$ más $- 6$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 6) x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 6 x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.9.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.9.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 6 x - 6}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.9.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) + 6 (- x - 1)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.9.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.10

Cancela el factor común de $- x - 1$ y $x + 1$ .

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Paso 2.10.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.10.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.10.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.10.4

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.10.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 6)}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Paso 2.10.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (x + 6)}{x + 3} = 0$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 6}{x + 3} = 0$