Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{3} x^{2} + x - 4 \sqrt{3} = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = \sqrt{3}$ , $b = 1$ y $c = - 4 \sqrt{3}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot (- 4 \sqrt{3}))}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (- 4 \sqrt{3})}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \sqrt{3} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.3

Multiplica $16 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Paso 3.1.3.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.4.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.5

Multiplica $16$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.6

Suma $1$ y $48$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.7

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.3.2

Mueve $\sqrt{3}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 3.3.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.3.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.7.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$

Paso 3.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 \pm 7$ .

$x = \frac{- 1 (- (- 1 \pm 7)) \sqrt{3}}{6}$

Paso 3.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 (- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$

Paso 3.7

Multiplica $- 1 \pm 7$ por $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$

Paso 3.8

Reordena los factores en $\frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} (- 1 \pm 7)}{6}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\sqrt{3} (- 1 \pm 7)}{6}$

Forma decimal:

$x = 1.73205080 \dots, - 2.30940107 \dots$