Matemática discreta Ejemplos

$\frac{8 + x}{15 + x} + \frac{3}{9 + 3 x} = \frac{4}{15}$

Paso 1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Divide la fracción $\frac{8 + x}{15 + x}$ en dos fracciones.

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3}{9 + 3 x} = \frac{4}{15}$

Paso 1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ y $9 + 3 x$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3 \cdot 1}{9 + 3 x} = \frac{4}{15}$

Paso 1.1.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3 \cdot 1}{3 (3) + 3 x} = \frac{4}{15}$

Paso 1.1.1.2.2.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3 \cdot 1}{3 (3) + 3 (x)} = \frac{4}{15}$

Paso 1.1.1.2.2.3

Factoriza $3$ de $3 (3) + 3 (x)$ .

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3 \cdot 1}{3 (3 + x)} = \frac{4}{15}$

Paso 1.1.1.2.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{3 \cdot 1}{3 (3 + x)} = \frac{4}{15}$

Paso 1.1.1.2.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{1}{3 + x} = \frac{4}{15}$

Paso 1.2

Resta $\frac{4}{15}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{1}{3 + x} - \frac{4}{15} = 0$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$15 + x, 15 + x, 3 + x, 15, 1$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

$15$ tiene factores de $3$ y $5$ .

$3 \cdot 5$

Paso 2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.6

El MCM de $1, 1, 1, 15, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3 \cdot 5$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $5$ .

$15$

Paso 2.8

El factor para $15 + x$ es $15 + x$ en sí mismo.

$(15 + x) = 15 + x$

$(15 + x)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El factor para $3 + x$ es $3 + x$ en sí mismo.

$(3 + x) = 3 + x$

$(3 + x)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.10

El MCM de $15 + x, 15 + x, 3 + x$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(15 + x) (3 + x)$

Paso 2.11

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$15 (15 + x) (3 + x)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{1}{3 + x} - \frac{4}{15} = 0$ por $15 (15 + x) (3 + x)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{8}{15 + x} + \frac{x}{15 + x} + \frac{1}{3 + x} - \frac{4}{15} = 0$ por $15 (15 + x) (3 + x)$ .

$\frac{8}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$15 \frac{8}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $15 \frac{8}{15 + x}$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Combina $15$ y $\frac{8}{15 + x}$ .

$\frac{15 \cdot 8}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $15$ por $8$ .

$\frac{120}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $15 + x$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{120}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$120 (3 + x) + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$120 \cdot 3 + 120 x + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $120$ por $3$ .

$360 + 120 x + \frac{x}{15 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$360 + 120 x + 15 \frac{x}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.7

Combina $15$ y $\frac{x}{15 + x}$ .

$360 + 120 x + \frac{15 x}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.8

Cancela el factor común de $15 + x$ .

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Paso 3.2.1.8.1

Cancela el factor común.

$360 + 120 x + \frac{15 x}{15 + x} ((15 + x) (3 + x)) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.8.2

Reescribe la expresión.

$360 + 120 x + 15 x (3 + x) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$360 + 120 x + 15 x \cdot 3 + 15 x \cdot x + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.10

Multiplica $3$ por $15$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x \cdot x + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.11

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.11.1

Mueve $x$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 (x \cdot x) + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.11.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + \frac{1}{3 + x} (15 (15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 15 \frac{1}{3 + x} ((15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.13

Combina $15$ y $\frac{1}{3 + x}$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + \frac{15}{3 + x} ((15 + x) (3 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.14

Cancela el factor común de $3 + x$ .

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Paso 3.2.1.14.1

Factoriza $3 + x$ de $(15 + x) (3 + x)$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + \frac{15}{3 + x} ((3 + x) (15 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.14.2

Cancela el factor común.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + \frac{15}{3 + x} ((3 + x) (15 + x)) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.14.3

Reescribe la expresión.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 15 (15 + x) - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.15

Aplica la propiedad distributiva.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 15 \cdot 15 + 15 x - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.16

Multiplica $15$ por $15$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - \frac{4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.17

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 3.2.1.17.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{15}$ al numerador.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x + \frac{- 4}{15} (15 (15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.17.2

Factoriza $15$ de $15 (15 + x) (3 + x)$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x + \frac{- 4}{15} (15 ((15 + x) (3 + x))) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.17.3

Cancela el factor común.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x + \frac{- 4}{15} (15 ((15 + x) (3 + x))) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.17.4

Reescribe la expresión.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 ((15 + x) (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.18

Expande $(15 + x) (3 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (15 (3 + x) + x (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (15 \cdot 3 + 15 x + x (3 + x)) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.18.3

Aplica la propiedad distributiva.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (15 \cdot 3 + 15 x + x \cdot 3 + x \cdot x) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.19

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.19.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.19.1.1

Multiplica $15$ por $3$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (45 + 15 x + x \cdot 3 + x \cdot x) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.19.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (45 + 15 x + 3 \cdot x + x \cdot x) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.19.1.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (45 + 15 x + 3 x + x^{2}) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.19.2

Suma $15 x$ y $3 x$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 (45 + 18 x + x^{2}) = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.20

Aplica la propiedad distributiva.

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 4 \cdot 45 - 4 (18 x) - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.21

Simplifica.

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Paso 3.2.1.21.1

Multiplica $- 4$ por $45$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 180 - 4 (18 x) - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.1.21.2

Multiplica $18$ por $- 4$ .

$360 + 120 x + 45 x + 15 x^{2} + 225 + 15 x - 180 - 72 x - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.1

Suma $360$ y $225$ .

$120 x + 45 x + 15 x^{2} + 585 + 15 x - 180 - 72 x - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.2.2

Suma $120 x$ y $45 x$ .

$165 x + 15 x^{2} + 585 + 15 x - 180 - 72 x - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.2.3

Suma $165 x$ y $15 x$ .

$180 x + 15 x^{2} + 585 - 180 - 72 x - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.2.4

Resta $72 x$ de $180 x$ .

$108 x + 15 x^{2} + 585 - 180 - 4 x^{2} = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.2.5

Resta $4 x^{2}$ de $15 x^{2}$ .

$108 x + 11 x^{2} + 585 - 180 = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.2.2.6

Resta $180$ de $585$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (15 (15 + x) (3 + x))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 ((15 \cdot 15 + 15 x) (3 + x))$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $15$ por $15$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 ((225 + 15 x) (3 + x))$

Paso 3.3.2

Expande $(225 + 15 x) (3 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (225 (3 + x) + 15 x (3 + x))$

Paso 3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (225 \cdot 3 + 225 x + 15 x (3 + x))$

Paso 3.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (225 \cdot 3 + 225 x + 15 x \cdot 3 + 15 x \cdot x)$

Paso 3.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica $225$ por $3$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (675 + 225 x + 15 x \cdot 3 + 15 x \cdot x)$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $3$ por $15$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (675 + 225 x + 45 x + 15 x \cdot x)$

Paso 3.3.3.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (675 + 225 x + 45 x + 15 (x \cdot x))$

Paso 3.3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (675 + 225 x + 45 x + 15 x^{2})$

Paso 3.3.3.2

Suma $225 x$ y $45 x$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0 (675 + 270 x + 15 x^{2})$

Paso 3.3.4

Multiplica $0$ por $675 + 270 x + 15 x^{2}$ .

$108 x + 11 x^{2} + 405 = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2

Sustituye los valores $a = 11$ , $b = 108$ y $c = 405$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 108 \pm \sqrt{108^{2} - 4 \cdot (11 \cdot 405)}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Eleva $108$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot 11 \cdot 405}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 11 \cdot 405$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $11$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{11664 - 44 \cdot 405}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $- 44$ por $405$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{11664 - 17820}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.1.3

Resta $17820$ de $11664$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{- 6156}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.1.4

Reescribe $- 6156$ como $- 1 (6156)$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{- 1 \cdot 6156}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (6156)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6156}$ .

$x = \frac{- 108 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6156}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 108 \pm i \cdot \sqrt{6156}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.1.7

Reescribe $6156$ como $18^{2} \cdot 19$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.7.1

Factoriza $324$ de $6156$ .

$x = \frac{- 108 \pm i \cdot \sqrt{324 (19)}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.1.7.2

Reescribe $324$ como $18^{2}$ .

$x = \frac{- 108 \pm i \cdot \sqrt{18^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 108 \pm i \cdot (18 \sqrt{19})}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.1.9

Mueve $18$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 108 \pm 18 i \sqrt{19}}{2 \cdot 11}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $11$ .

$x = \frac{- 108 \pm 18 i \sqrt{19}}{22}$

Paso 4.3.3

Simplifica $\frac{- 108 \pm 18 i \sqrt{19}}{22}$ .

$x = \frac{- 54 \pm 9 i \sqrt{19}}{11}$

Paso 4.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{54 - 9 i \sqrt{19}}{11}, - \frac{54 + 9 i \sqrt{19}}{11}$

$x = \frac{- 54 \pm 9 i \sqrt{19}}{11}$