Matemática discreta Ejemplos

$y - 2 = \frac{4}{3} \cdot (x (x - 4))$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$(0) - 2 = \frac{4}{3} \cdot (x (x - 4))$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{4}{3} \cdot (x (x - 4)) = (0) - 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot (x (x - 4)) = (0) - 2$

Paso 1.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (x (x - 4))) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.1.1

Simplifica $\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (x (x - 4)))$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 4)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (x^{2} + x \cdot - 4)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (x^{2} - 4 \cdot x)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} x^{2} + \frac{4}{3} (- 4 x)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.4

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- 4 x)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.5

Multiplica $\frac{4}{3} (- 4 x)$ .

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Paso 1.2.3.1.1.5.1

Combina $- 4$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{3} x) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.5.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 16}{3} x) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.5.3

Combina $\frac{- 16}{3}$ y $x$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 16 x}{3}) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.3.1.1.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{4} (\frac{4 x^{2}}{3} - \frac{16 x}{3}) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{3}{4} (- \frac{16 x}{3}) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.6.3

Combinar.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} (- \frac{16 x}{3}) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.6.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.1.1.6.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{16 x}{3}$ al numerador.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 16 x}{3} = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 16 x}{3} = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} (- 16 x) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.6.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1.6.5.1

Factoriza $4$ de $- 16 x$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} (4 (- 4 x)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.6.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} (4 (- 4 x)) = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.6.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} - 4 x = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1.7.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 x^{2})}{4 \cdot 3} - 4 x = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.7.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{2}}{4} - 4 x = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.7.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1.7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} - 4 x = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.1.1.7.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{4} ((0) - 2)$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica $\frac{3}{4} ((0) - 2)$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Resta $2$ de $0$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{4} \cdot - 2$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{2 (2)} \cdot - 2$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 1.2.3.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 4 x = \frac{3}{2} \cdot - 1$

Paso 1.2.3.2.1.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Paso 1.2.3.2.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.2.1.4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{- 3}{2}$

Paso 1.2.3.2.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - 4 x = - \frac{3}{2}$

Paso 1.2.4

Suma $\frac{3}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x + \frac{3}{2} = 0$

Paso 1.2.5

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Paso 1.2.5.2

Simplifica.

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Paso 1.2.5.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$2 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Paso 1.2.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Paso 1.2.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Paso 1.2.6

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.7

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 8$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 3)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.8

Simplifica.

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Paso 1.2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.8.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.8.1.3

Resta $24$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.8.1.4

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 1.2.8.1.4.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$

Paso 1.2.8.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2}$

Paso 1.2.9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.9.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Paso 1.2.9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.9.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.9.1.3

Resta $24$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.9.1.4

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 1.2.9.1.4.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.9.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.9.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.9.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$

Paso 1.2.9.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2}$

Paso 1.2.9.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{10}}{2}$

Paso 1.2.10

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.10.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.10.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Paso 1.2.10.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.10.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.10.1.3

Resta $24$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.10.1.4

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 1.2.10.1.4.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.10.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.10.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$

Paso 1.2.10.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2}$

Paso 1.2.10.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{10}}{2}$

Paso 1.2.11

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{4 + \sqrt{10}}{2}, \frac{4 - \sqrt{10}}{2}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(\frac{4 + \sqrt{10}}{2}, 0), (\frac{4 - \sqrt{10}}{2}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y - 2 = \frac{4}{3} \cdot ((0) ((0) - 4))$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Simplifica $\frac{4}{3} \cdot ((0) ((0) - 4))$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $(0) ((0) - 4)$ .

$y - 2 = \frac{4}{3} \cdot (3 ((0) ((0) - 4)))$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y - 2 = \frac{4}{3} \cdot (3 ((0) ((0) - 4)))$

Paso 2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y - 2 = 4 \cdot ((0) ((0) - 4))$

Paso 2.2.1.2

Multiplica por cero.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $(0) - 4$ .

$y - 2 = 4 \cdot 0$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$y - 2 = 0$

Paso 2.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 2)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(\frac{4 + \sqrt{10}}{2}, 0), (\frac{4 - \sqrt{10}}{2}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 2)$

Paso 4