Matemática discreta Ejemplos

$3 {(- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3})}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3})}^{2}$ como $(- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}) (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3})$ .

$3 ((- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}) (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 2

Expande $(- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}) (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{2 y}{3} (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{2 y}{3} (- \frac{2 y}{3}) - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}))$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{2 y}{3} (- \frac{2 y}{3}) - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $- \frac{2 y}{3} (- \frac{2 y}{3})$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 (1 \frac{2 y}{3} \frac{2 y}{3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $\frac{2 y}{3}$ por $1$ .

$3 (\frac{2 y}{3} \cdot \frac{2 y}{3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $\frac{2 y}{3}$ por $\frac{2 y}{3}$ .

$3 (\frac{2 y (2 y)}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 (\frac{4 y \cdot y}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.1.5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 (\frac{4 (y^{1} y)}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.1.6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$3 (\frac{4 (y^{1} y^{1})}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (\frac{4 y^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.1.8

Suma $1$ y $1$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.1.9

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.2

Multiplica $- \frac{2 y}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2 y}{3}$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.3

Multiplica $\frac{1}{3} (- \frac{2 y}{3})$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2 y}{3}$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{9} - \frac{2 y}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{9} - \frac{2 y}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{9} - \frac{2 y}{9} + \frac{1}{3 \cdot 3})$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{2 y}{9} - \frac{2 y}{9} + \frac{1}{9})$

Paso 3.2

Resta $\frac{2 y}{9}$ de $- \frac{2 y}{9}$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - 2 \frac{2 y}{9} + \frac{1}{9})$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica $- 2 \frac{2 y}{9}$ .

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Paso 4.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{2 y}{9}$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} + \frac{- 2 (2 y)}{9} + \frac{1}{9})$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} + \frac{- 4 y}{9} + \frac{1}{9})$

Paso 4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{4 y^{2}}{9} - \frac{4 y}{9} + \frac{1}{9})$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \frac{4 y^{2}}{9} + 3 (- \frac{4 y}{9}) + 3 (\frac{1}{9})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 \frac{4 y^{2}}{3 (3)} + 3 (- \frac{4 y}{9}) + 3 (\frac{1}{9})$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{4 y^{2}}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{4 y}{9}) + 3 (\frac{1}{9})$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y^{2}}{3} + 3 (- \frac{4 y}{9}) + 3 (\frac{1}{9})$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 y}{9}$ al numerador.

$\frac{4 y^{2}}{3} + 3 \frac{- 4 y}{9} + 3 (\frac{1}{9})$

Paso 6.2.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{4 y^{2}}{3} + 3 \frac{- 4 y}{3 (3)} + 3 (\frac{1}{9})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{2}}{3} + 3 \frac{- 4 y}{3 \cdot 3} + 3 (\frac{1}{9})$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y^{2}}{3} + \frac{- 4 y}{3} + 3 (\frac{1}{9})$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{4 y^{2}}{3} + \frac{- 4 y}{3} + 3 \frac{1}{3 (3)}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{2}}{3} + \frac{- 4 y}{3} + 3 \frac{1}{3 \cdot 3}$

Paso 6.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y^{2}}{3} + \frac{- 4 y}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 y^{2}}{3} - \frac{4 y}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 8

Factoriza el MCD de $\frac{1}{3}$ de $\frac{4 y^{2}}{3} - \frac{4 y}{3} + \frac{1}{3}$ .

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Paso 8.1

Factoriza el MCD de $\frac{1}{3}$ de cada término en el polinomio.

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Paso 8.1.1

Factoriza el MCD de $\frac{1}{3}$ de la expresión $\frac{4 y^{2}}{3}$ .

$\frac{1 (4 y^{2})}{3} - \frac{4 y}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 8.1.2

Factoriza el MCD de $\frac{1}{3}$ de la expresión $- \frac{4 y}{3}$ .

$\frac{1 (4 y^{2})}{3} + \frac{1 (- 4 y)}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 8.1.3

Factoriza el MCD de $\frac{1}{3}$ de la expresión $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1 (4 y^{2})}{3} + \frac{1 (- 4 y)}{3} + \frac{1 (1)}{3}$

Paso 8.2

Como todos los términos comparten un factor común de $\frac{1}{3}$ , se puede factorizar fuera de cada término.

$\frac{1 (4 y^{2} - 4 y + 1)}{3}$

Paso 9

El polinomio no puede factorizarse con el método especificado. Intenta con otro método o, si no sabes cuál usar, elige Factor.

El polinomio no puede factorizarse con el método especificado.