Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$ , $5 x + 4 y = 8$

Paso 1

Resuelve $x$ en $5 x + 4 y = 8$ .

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Paso 1.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = 8 - 4 y$

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$

Paso 1.2

Divide cada término en $5 x = 8 - 4 y$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $5 x = 8 - 4 y$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 y}{5}$

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{8}{5} + \frac{- 4 y}{5}$

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{5} + \frac{- 4 y}{5}$

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} + \frac{- 4 y}{5}$

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} + \frac{- 4 y}{5}$

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{1}{2} x + 2 y = 4$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $\frac{1}{2} x + 2 y = 4$ por $\frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}) + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (\frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}) + 2 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{4 y}{5}) + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (4)}{5} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{4 y}{5}) + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{5} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{4 y}{5}) + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{4 y}{5}) + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{4 y}{5}) + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 y}{5}$ al numerador.

$\frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 y}{5} + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 4 y$ .

$\frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 2 y)}{5} + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{4}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 2 y)}{5} + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{5} + \frac{- 2 y}{5} + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{4}{5} + \frac{- 2 y}{5} + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{5} - \frac{2 y}{5} + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{4}{5} - \frac{2 y}{5} + 2 y = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $2 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 y}{5} + 2 y \cdot \frac{5}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.3

Combina $2 y$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 y}{5} + \frac{2 y \cdot 5}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{5} + \frac{- 2 y + 2 y \cdot 5}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 2 y + 2 y \cdot 5}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{4 - 2 y + 10 y}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.7

Suma $- 2 y$ y $10 y$ .

$\frac{4 + 8 y}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.8

Factoriza $4$ de $4 + 8 y$ .

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Paso 2.2.1.8.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1) + 8 y}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.8.2

Factoriza $4$ de $8 y$ .

$\frac{4 (1) + 4 (2 y)}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 2.2.1.8.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (2 y)$ .

$\frac{4 (1 + 2 y)}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{4 (1 + 2 y)}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{4 (1 + 2 y)}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{4 (1 + 2 y)}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$\frac{4 (1 + 2 y)}{5} = 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{4 (1 + 2 y)}{5} = 4$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $5$ .

$\frac{4 (1 + 2 y)}{5} \cdot 5 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{4 (1 + 2 y)}{5} \cdot 5$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (1 + 2 y)}{5} \cdot 5 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4 (1 + 2 y) = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$4 (1 + 2 y) = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (2 y) = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 (2 y) = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$4 + 8 y = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.3.3

Reordena $4$ y $8 y$ .

$8 y + 4 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$8 y + 4 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$8 y + 4 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$8 y + 4 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$8 y + 4 = 20$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$8 y + 4 = 20$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$8 y + 4 = 20$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y = 20 - 4$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.3.1.2

Resta $4$ de $20$ .

$8 y = 16$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$8 y = 16$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $8 y = 16$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $8 y = 16$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{16}{8}$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$y = \frac{16}{8}$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$y = \frac{16}{8}$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $16$ por $8$ .

$y = 2$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$y = 2$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$y = 2$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$y = 2$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

$y = 2$

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{8}{5} - \frac{4 y}{5}$ por $2$ .

$x = \frac{8}{5} - \frac{4 (2)}{5}$

$y = 2$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{8}{5} - \frac{4 (2)}{5}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{8 - 4 \cdot 2}{5}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{8 - 8}{5}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.2.2

Resta $8$ de $8$ .

$x = \frac{0}{5}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.2.3

Divide $0$ por $5$ .

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 2)$