Matemática discreta Ejemplos

$3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$

Paso 1

Factoriza $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Paso 1.3

Sustituye $0.\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $0.\overline{3}$ en el polinomio.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{4} - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Paso 1.3.2

Eleva $0.\overline{3}$ a la potencia de $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $0.01234567$ .

$0.\overline{037} - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Paso 1.3.4

Eleva $0.\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$0.\overline{037} - 37 \cdot 0.\overline{037} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 37$ por $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} - 1.37037037 + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Paso 1.3.6

Resta $1.37037037$ de $0.\overline{037}$ .

$- 1.33333333 + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Paso 1.3.7

Eleva $0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$- 1.33333333 + 111 \cdot 0.\overline{1} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Paso 1.3.8

Multiplica $111$ por $0.\overline{1}$ .

$- 1.33333333 + 12.33333333 - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Paso 1.3.9

Suma $- 1.33333333$ y $12.33333333$ .

$11 - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Paso 1.3.10

Multiplica $- 45$ por $0.\overline{3}$ .

$11 - 15 + 4$

Paso 1.3.11

Resta $15$ de $11$ .

$- 4 + 4$

Paso 1.3.12

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 1.4

Como $0.\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4}{3 x - 1}$

Paso 1.5

Divide $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ por $3 x - 1$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 36 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $99 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $99 x^{2} - 33 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

Paso 1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

Paso 1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 12 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

Paso 1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

Paso 1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 12 x + 4$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

Paso 1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

$0$

Paso 1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$

Paso 1.6

Escribe $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ como un conjunto de factores.

$(3 x - 1) (x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4)$

Paso 2

Factoriza $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 2.1.3

Sustituye $4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $4$ en el polinomio.

$4^{3} - 12 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 4$

Paso 2.1.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$64 - 12 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 4$

Paso 2.1.3.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$64 - 12 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 4$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 12$ por $16$ .

$64 - 192 + 33 \cdot 4 - 4$

Paso 2.1.3.5

Resta $192$ de $64$ .

$- 128 + 33 \cdot 4 - 4$

Paso 2.1.3.6

Multiplica $33$ por $4$ .

$- 128 + 132 - 4$

Paso 2.1.3.7

Suma $- 128$ y $132$ .

$4 - 4$

Paso 2.1.3.8

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4}{x - 4}$

Paso 2.1.5

Divide $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ por $x - 4$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 8 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$32 x$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 8 x^{2} + 32 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							+	$x$	-	$4$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 4$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							-	$x$	+	$4$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							-	$x$	+	$4$
										$0$

Paso 2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 8 x + 1$

Paso 2.1.6

Escribe $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ como un conjunto de factores.

$(3 x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 8 x + 1))$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x - 1) (x - 4) (x^{2} - 8 x + 1)$