Matemática discreta Ejemplos

$p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ no está definida.

$x = - \frac{5}{2}, x = 0$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Reduce.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $12 x + 30$ y $2$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $2$ de $12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $2$ de $30$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 2 \cdot 15}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (6 x) + 2 (15)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Paso 3.1.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 (x)} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Paso 3.1.1.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Paso 3.1.1.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $16 x + 40$ y $4$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $4$ de $16 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 40}{4 x}$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $4$ de $40$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 4 \cdot 10}{4 x}$

Paso 3.1.2.3

Factoriza $4$ de $4 (4 x) + 4 (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Paso 3.1.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.4.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 (x)}$

Paso 3.1.2.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Paso 3.1.2.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 x + 10}{x}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite.

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.4.1.2

Divide $6$ por $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.4.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.4.5

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.4.6

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Paso 3.7

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Paso 3.8

Evalúa el límite.

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Paso 3.8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.8.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Paso 3.8.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Paso 3.8.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{1}}$

Paso 3.8.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Paso 3.8.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Paso 3.8.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Paso 3.8.6

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Paso 3.9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Paso 3.10

Evalúa el límite.

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Paso 3.10.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Paso 3.10.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.10.2.1

Divide $6 + 15 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Paso 3.10.2.2

Divide $4 + 10 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.3

Cancela el factor común de $6 + 15 \cdot 0$ y $4 + 10 \cdot 0$ .

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Paso 3.10.2.3.1

Reordena los términos.

$\frac{6 + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.3.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3) + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.3.3

Factoriza $2$ de $0 \cdot 15$ .

$\frac{2 (3) + 2 (0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.3.4

Factoriza $2$ de $2 (3) + 2 (0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.3.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.3.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 10 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.3.5.2

Factoriza $2$ de $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 2 (5 \cdot 0)}$

Paso 3.10.2.3.5.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Paso 3.10.2.3.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Paso 3.10.2.3.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + 0 \cdot 15}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.2.4.1

Multiplica $0$ por $15$ .

$\frac{3 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{3}{2 + 5 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.10.2.5.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{3}{2 + 0}$

Paso 3.10.2.5.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = \frac{3}{2}$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = \frac{3}{2}$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7