Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ no está definida.

$x = - 7, x = 2$

Paso 2

Como $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 7$ desde la izquierda y $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 7$ desde la derecha, entonces $x = - 7$ es una asíntota vertical.

$x = - 7$

Paso 3

Como $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $2$ desde la izquierda y $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $2$ desde la derecha, entonces $x = 2$ es una asíntota vertical.

$x = 2$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 7, 2$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Factoriza $x^{2} + 5 x - 14$ con el método AC.

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Paso 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 14$ y cuya suma es $5$ .

$- 2, 7$

Paso 8.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x^{4} + 1}{(x - 2) (x + 7)}$

Paso 8.2

Expande $(x - 2) (x + 7)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} + 1}{x (x + 7) - 2 (x + 7)}$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 (x + 7)}$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 x - 2 \cdot 7}$

Paso 8.2.4

Reordena $x$ y $7$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Paso 8.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Paso 8.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Paso 8.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{1 + 1} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Paso 8.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

Paso 8.2.9

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 14}$

Paso 8.2.10

Resta $2 x$ de $7 x$ .

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

Paso 8.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 8.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 8.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

Paso 8.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

Paso 8.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

Paso 8.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

Paso 8.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

Paso 8.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

Paso 8.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{3} - 25 x^{2} + 70 x$ .

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

Paso 8.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

Paso 8.13

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

Paso 8.14

Divide el término de mayor orden en el dividendo $39 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

Paso 8.15

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

Paso 8.16

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $39 x^{2} + 195 x - 546$ .

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

Paso 8.17

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

$265 x$

$547$

Paso 8.18

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x^{2} - 5 x + 39 + \frac{- 265 x + 547}{x^{2} + 5 x - 14}$

Paso 8.19

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x^{2} - 5 x + 39$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 7, 2$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x^{2} - 5 x + 39$

Paso 10