Matemática discreta Ejemplos

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 4 y^{2}$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1.1

Resta $4 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 - 4 y^{2} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve $- 63$ .

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 4 y^{2} - 63 = 0$

Paso 1.1.3

Mueve $- 24 y$ .

$9 x^{2} - 18 x - 4 y^{2} - 24 y - 63 = 0$

Paso 1.1.4

Mueve $- 18 x$ .

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 0$

Paso 1.2

Suma $63$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$

Paso 1.3

Completa el cuadrado de $9 x^{2} - 18 x$ .

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Paso 1.3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Paso 1.3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 18$ y $2$ .

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Paso 1.3.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Paso 1.3.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Paso 1.3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Paso 1.3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 9}{9}$

Paso 1.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 9$ y $9$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Paso 1.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Paso 1.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 1.3.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.2.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Paso 1.3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Paso 1.3.4.2.1.3

Divide $324$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Paso 1.3.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Paso 1.3.4.2.2

Resta $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Paso 1.3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Paso 1.4

Sustituye $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ por $9 x^{2} - 18 x$ en la ecuación $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 24 y = 63$

Paso 1.5

Mueve $- 9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $9$ a ambos lados.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 63 + 9$

Paso 1.6

Completa el cuadrado de $- 4 y^{2} - 24 y$ .

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Paso 1.6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Paso 1.6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.6.3.2.1

Cancela el factor común de $- 24$ y $2$ .

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Paso 1.6.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.6.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

Paso 1.6.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.6.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

Paso 1.6.3.2.2

Cancela el factor común de $- 12$ y $- 4$ .

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Paso 1.6.3.2.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 12$ .

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

Paso 1.6.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.3.2.2.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Paso 1.6.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Paso 1.6.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 1.6.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 1.6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.4.2.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Paso 1.6.4.2.1.3

Divide $576$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Paso 1.6.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Paso 1.6.4.2.2

Suma $0$ y $36$ .

$e = 36$

Paso 1.6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

Paso 1.7

Sustituye $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ por $- 4 y^{2} - 24 y$ en la ecuación $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 63 + 9$

Paso 1.8

Mueve $36$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $36$ a ambos lados.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 63 + 9 - 36$

Paso 1.9

Simplifica $63 + 9 - 36$ .

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Paso 1.9.1

Suma $63$ y $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

Paso 1.9.2

Resta $36$ de $72$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

Paso 1.10

Divide cada término por $36$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Paso 1.11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener las asíntotas y la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Paso 4

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Paso 5

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Paso 5.2

Simplifica $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Paso 5.2.1.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 3$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} - 3$

Paso 5.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3$

Paso 5.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 6}{2}$

Paso 5.2.5.2

Resta $6$ de $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Paso 5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

Paso 6

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 6.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Paso 6.2

Simplifica $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Paso 6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Paso 6.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - 3$

Paso 6.2.1.4.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Paso 6.2.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Paso 6.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 6}{2}$

Paso 6.2.5.2

Resta $6$ de $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Paso 6.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 7

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 8

Las asíntotas son $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ y $y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ .

Asíntotas: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 9