Matemática discreta Ejemplos

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

Paso 1

Expande $(k + 1) (k + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $k$ por $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Paso 2.1.2

Multiplica $k$ por $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

Paso 2.1.3

Multiplica $k$ por $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

Paso 2.2

Suma $k$ y $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

Paso 3

Para escribir $k^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

Paso 4

Combina $k^{2}$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Paso 6

Reordena los términos.

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

Paso 7

Factoriza $\frac{1}{6}$ de cada término.

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 9

Multiplica $k$ por $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 10

Multiplica $k$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 11

Expande $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12.1.2

Multiplica $k^{2}$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.2.1

Mueve $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12.1.2.2

Multiplica $k$ por $k^{2}$ .

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Paso 12.1.2.2.1

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12.1.3

Multiplica $k^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12.1.5

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.5.1

Mueve $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12.1.5.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12.1.6

Multiplica $k$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 12.2

Suma $k^{2}$ y $2 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Paso 13

Mueve $6$ a la izquierda de $k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

Paso 14

Suma $12 k$ y $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

Paso 15

Suma $3 k^{2}$ y $6 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

Paso 16

Factoriza.

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Paso 16.1

Reescribe $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ en forma factorizada.

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Paso 16.1.1

Factoriza $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 16.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 16.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Paso 16.1.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 16.1.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Paso 16.1.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Paso 16.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Paso 16.1.1.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

Paso 16.1.1.3.5

Multiplica $9$ por $1$ .

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

Paso 16.1.1.3.6

Suma $- 2$ y $9$ .

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

Paso 16.1.1.3.7

Multiplica $13$ por $- 1$ .

$7 - 13 + 6$

Paso 16.1.1.3.8

Resta $13$ de $7$ .

$- 6 + 6$

Paso 16.1.1.3.9

Suma $- 6$ y $6$ .

$0$

Paso 16.1.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $k + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

Paso 16.1.1.5

Divide $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ por $k + 1$ .

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Paso 16.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

Paso 16.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 k^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $k$ .

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

Paso 16.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

Paso 16.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 k^{3} + 2 k^{2}$ .

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

Paso 16.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

Paso 16.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Paso 16.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 k^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Paso 16.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

Paso 16.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 k^{2} + 7 k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

Paso 16.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

Paso 16.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Paso 16.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 k$ por el término de mayor orden en el divisor $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Paso 16.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

Paso 16.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 k + 6$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

Paso 16.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

Paso 16.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 k^{2} + 7 k + 6$

Paso 16.1.1.6

Escribe $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ como un conjunto de factores.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

Paso 16.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 16.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 16.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 16.1.2.1.1.1

Factoriza $7$ de $7 k$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

Paso 16.1.2.1.1.2

Reescribe $7$ como $3$ más $4$

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

Paso 16.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

Paso 16.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 16.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

Paso 16.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

Paso 16.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 k + 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

Paso 16.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

Paso 16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$