Matemática discreta Ejemplos

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

Paso 1

Para escribir $\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{2 x - 3}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2 x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{2} - 9) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{2 x - 3}{x - 3}$ por $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ .

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(x^{2} - 9) (x - 3)$ .

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} - \frac{(2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(4 x - 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{(4 x - 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ en forma factorizada.

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Paso 5.1

Expande $(4 x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (x - 3) - 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 3 x + 9 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.2.2

Resta $3 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- (2 x) - - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- 2 x - - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- 2 x + 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.6

Expande $(- 2 x + 3) (x^{2} - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x (x^{2} - 9) + 3 (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + 3 (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.7

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.7.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.7.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.7.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.7.2

Multiplica $- 9$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.7.3

Multiplica $3$ por $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x + 3 x^{2} - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.8

Suma $4 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.9

Suma $- 15 x$ y $18 x$ .

$\frac{7 x^{2} + 3 x + 9 - 2 x^{3} - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.10

Resta $27$ de $9$ .

$\frac{7 x^{2} + 3 x - 2 x^{3} - 18}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.11

Reordena los términos.

$\frac{- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.12

Reescribe $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ en forma factorizada.

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Paso 5.12.1

Factoriza $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 5.12.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 5.12.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 18, \pm 9, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 6$

Paso 5.12.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.12.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$- 2 \cdot 2^{3} + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

Paso 5.12.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

Paso 5.12.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$- 16 + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

Paso 5.12.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 16 + 7 \cdot 4 + 3 \cdot 2 - 18$

Paso 5.12.1.3.5

Multiplica $7$ por $4$ .

$- 16 + 28 + 3 \cdot 2 - 18$

Paso 5.12.1.3.6

Suma $- 16$ y $28$ .

$12 + 3 \cdot 2 - 18$

Paso 5.12.1.3.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$12 + 6 - 18$

Paso 5.12.1.3.8

Suma $12$ y $6$ .

$18 - 18$

Paso 5.12.1.3.9

Resta $18$ de $18$ .

$0$

Paso 5.12.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18}{x - 2}$

Paso 5.12.1.5

Divide $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ por $x - 2$ .

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Paso 5.12.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$18$

Paso 5.12.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$

Paso 5.12.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 5.12.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 5.12.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Paso 5.12.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 5.12.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 5.12.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 5.12.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} - 6 x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 5.12.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$

Paso 5.12.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Paso 5.12.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $9 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Paso 5.12.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Paso 5.12.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $9 x - 18$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Paso 5.12.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

Paso 5.12.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- 2 x^{2} + 3 x + 9$

Paso 5.12.1.6

Escribe $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ como un conjunto de factores.

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.12.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.12.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.12.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 9 = - 18$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 5.12.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 (x) + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.12.2.1.1.2

Reescribe $3$ como $- 3$ más $6$

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + (- 3 + 6) x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.12.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x + 6 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.12.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.12.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x - 2) ((- 2 x^{2} - 3 x) + 6 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.12.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x - 2) (x (- 2 x - 3) - 3 (- 2 x - 3))}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.12.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 x - 3$ .

$\frac{(x - 2) ((- 2 x - 3) (x - 3))}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.12.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Paso 5.13

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 3^{2})}$

Paso 5.14

Factoriza.

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Paso 5.14.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) ((x + 3) (x - 3))}$

Paso 5.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3) (x - 3)}$

Paso 5.15

Combina exponentes.

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Paso 5.15.1

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1} (x - 3) (x + 3)}$

Paso 5.15.2

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1} (x + 3)}$

Paso 5.15.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1 + 1} (x + 3)}$

Paso 5.15.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Paso 5.16

Reduce la expresión $\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.16.1

Factoriza $x - 3$ de $(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

Paso 5.16.2

Factoriza $x - 3$ de ${(x - 3)}^{2} (x + 3)$ .

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{(x - 3) ((x - 3) (x + 3))}$

Paso 5.16.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{(x - 3) ((x - 3) (x + 3))}$

Paso 5.16.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Paso 6

Factoriza.

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Paso 6.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x - 3$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x) - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Paso 6.1.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x) - 1 (3))}{(x - 3) (x + 3)}$

Paso 6.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (3)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x + 3))}{(x - 3) (x + 3)}$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{(x - 2) \cdot - 1 (2 x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Paso 7

Factoriza el negativo.

$\frac{- ((x - 2) (2 x + 3))}{(x - 3) (x + 3)}$

Paso 8

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{- (x - 2) (2 x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$