Matemática discreta Ejemplos

$F (x) = \cos (x)$

Paso 1

Escribe $F (x) = \cos (x)$ como una ecuación.

$y = \cos (x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \cos (y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\cos (y) = x$ .

$\cos (y) = x$

Paso 3.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$y = \arccos (x)$

Paso 3.3

Elimina los paréntesis.

$y = \arccos (x)$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $F^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$F^{- 1} (x) = \arccos (x)$

Paso 5

Verifica si $F^{- 1} (x) = \arccos (x)$ es la inversa de $F (x) = \cos (x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $F^{- 1} (F (x)) = x$ y $F (F^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $F^{- 1} (F (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$F^{- 1} (F (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $F^{- 1} (\cos (x))$ mediante la sustitución del valor de $F$ en $F^{- 1}$ .

$F^{- 1} (\cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

Paso 5.3

Evalúa $F (F^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$F (F^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $F (\arccos (x))$ mediante la sustitución del valor de $F^{- 1}$ en $F$ .

$F (\arccos (x)) = \cos (\arccos (x))$

Paso 5.3.3

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$F (\arccos (x)) = x$

Paso 5.4

Como $F^{- 1} (F (x)) = x$ y $F (F^{- 1} (x)) = x$ , entonces $F^{- 1} (x) = \arccos (x)$ es la inversa de $F (x) = \cos (x)$ .

$F^{- 1} (x) = \arccos (x)$