Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ como una ecuación.

$y = \sqrt[3]{x^{7}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{y^{7}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{y^{7}} = x$ .

$\sqrt[3]{y^{7}} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y^{7}}}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y^{7}}$ como $y^{\frac{7}{3}}$ .

${(y^{\frac{7}{3}})}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{7}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{7} = x^{3}$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[7]{x^{3}}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(\sqrt[3]{x^{7}})}^{3}}$

Paso 5.2.3

Reescribe $x^{7}$ como ${(x^{2})}^{3} x$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $x^{6}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{x^{6} x}}^{3}}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} x}}^{3}}$

Paso 5.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2} \sqrt[3]{x})}^{3}}$

Paso 5.2.5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.5.1

Aplica la regla del producto a $x^{2} \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2})}^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Paso 5.2.5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{2 \cdot 3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Paso 5.2.5.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Paso 5.2.6

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 5.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 5.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.2.6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.2.6.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Paso 5.2.6.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Paso 5.2.7

Multiplica $x^{6}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $x^{6}$ por $x$ .

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Paso 5.2.7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

Paso 5.2.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6 + 1}}$

Paso 5.2.7.2

Suma $6$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Paso 5.2.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[7]{x^{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(\sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}$

Paso 5.3.3

Reescribe ${\sqrt[7]{x^{3}}}^{7}$ como $x^{3}$ .

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(x^{\frac{3}{7}})}^{7}}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{7} \cdot 7}}$

Paso 5.3.3.3

Combina $\frac{3}{7}$ y $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3 \cdot 7}{7}}}$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $3$ por $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{21}{7}}}$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $21$ y $7$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $7$ de $21$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7}}}$

Paso 5.3.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.5.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 (1)}}}$

Paso 5.3.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1}}}$

Paso 5.3.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{1}}}$

Paso 5.3.3.5.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$