Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ como una ecuación.

$y = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y - 8$ .

$(y - 8) (x) = (\frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}) (y - 8)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 8 x = (\frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}) (y - 8)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $y - 8$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - 8 x = \frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8} (y - 8)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - 8 x = \sqrt{2 y + 3}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{2 y + 3} = y x - 8 x$ .

$\sqrt{2 y + 3} = y x - 8 x$

Paso 3.4.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 y + 3}}^{2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 y + 3}$ como ${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Simplifica ${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Paso 3.4.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Paso 3.4.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 y + 3)}^{1} = {(y x - 8 x)}^{2}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Simplifica.

$2 y + 3 = {(y x - 8 x)}^{2}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Simplifica ${(y x - 8 x)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.3.1.1

Reescribe ${(y x - 8 x)}^{2}$ como $(y x - 8 x) (y x - 8 x)$ .

$2 y + 3 = (y x - 8 x) (y x - 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.2

Expande $(y x - 8 x) (y x - 8 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y + 3 = y x (y x - 8 x) - 8 x (y x - 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y + 3 = y x (y x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x - 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y + 3 = y x (y x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.3.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.3.1.3.1.1.1

Mueve $y$ .

$2 y + 3 = y \cdot y x \cdot x + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x \cdot x + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} (x \cdot x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x \cdot x - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.3.1.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y (x \cdot x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.3.1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 (x \cdot x) y - 8 x (- 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 x (- 8 x)$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 x \cdot x$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.3.1.3.1.7.1

Mueve $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 (x \cdot x)$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 x^{2}$

Paso 3.4.3.3.1.3.1.8

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y + 64 x^{2}$

Paso 3.4.3.3.1.3.2

Resta $8 x^{2} y$ de $- 8 y x^{2}$ .

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Paso 3.4.3.3.1.3.2.1

Mueve $y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 x^{2} y - 8 x^{2} y + 64 x^{2}$

Paso 3.4.3.3.1.3.2.2

Resta $8 x^{2} y$ de $- 8 x^{2} y$ .

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2}$

Paso 3.4.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.4.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} = 2 y + 3$

Paso 3.4.4.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} - 2 y = 3$

Paso 3.4.4.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} - 2 y - 3 = 0$

Paso 3.4.4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.4.5

Sustituye los valores $a = x^{2}$ , $b = - 16 x^{2} - 2$ y $c = 64 x^{2} - 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (- 16 x^{2} - 2) \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 16 x^{2}) + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.2

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5

Sea $u = x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

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Paso 3.4.4.6.5.1

Reescribe ${(- 16 x^{2} - 2)}^{2}$ como $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.2

Expande $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.4.6.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2} - 2) - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.4.6.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.6.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.6.5.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.3.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.3.1.5

Multiplica $- 16$ por $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.5.3.2

Suma $32 x^{2}$ y $32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.6

Factoriza $4$ de $256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u$ .

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Paso 3.4.4.6.6.1

Factoriza $4$ de $256 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.6.2

Factoriza $4$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.6.3

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) - 4 u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.6.5

Factoriza $4$ de $4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2})$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.6.6

Factoriza $4$ de $4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.6.7

Factoriza $4$ de $4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - u)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8

Simplifica.

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Paso 3.4.4.6.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.6.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} (64 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.1.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.6.8.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2 + 2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.1.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4}) - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.1.6

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.1.7

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.2

Combina los términos opuestos en $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2}$ .

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Paso 3.4.4.6.8.2.1

Resta $64 x^{4}$ de $64 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 0 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.2.2

Suma $16 x^{2} + 1$ y $0$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.8.3

Suma $16 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.9

Reescribe $4 (19 x^{2} + 1)$ como $2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})$ .

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Paso 3.4.4.6.9.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.9.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.10

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1^{2}}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.6.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.4.4.7.1

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.7.2

Cancela el factor común de $16 x^{2} + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ y $2$ .

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Paso 3.4.4.7.2.1

Factoriza $2$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.7.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 \cdot 1 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.7.2.3

Factoriza $2$ de $2 (8 x^{2}) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.7.2.4

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 (\sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.7.2.5

Factoriza $2$ de $2 (8 x^{2} + 1) + 2 (\sqrt{19 x^{2} + 1})$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.7.2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.7.2.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 (x^{2})}$

Paso 3.4.4.7.2.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.7.2.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.4.4.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 16 x^{2}) + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.2

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5

Sea $u = x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

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Paso 3.4.4.8.1.5.1

Reescribe ${(- 16 x^{2} - 2)}^{2}$ como $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.2

Expande $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.4.8.1.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2} - 2) - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.4.8.1.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.8.1.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.8.1.5.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.3.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 16$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.3.1.5

Multiplica $- 16$ por $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.5.3.2

Suma $32 x^{2}$ y $32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.6

Factoriza $4$ de $256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.8.1.6.1

Factoriza $4$ de $256 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.6.2

Factoriza $4$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.6.3

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) - 4 u}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.6.5

Factoriza $4$ de $4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2})$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.6.6

Factoriza $4$ de $4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.6.7

Factoriza $4$ de $4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - u)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8

Simplifica.

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Paso 3.4.4.8.1.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.8.1.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} (64 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.1.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.8.1.8.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2 + 2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.1.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4}) - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.1.6

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.1.7

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.2

Combina los términos opuestos en $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.8.1.8.2.1

Resta $64 x^{4}$ de $64 x^{4}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 0 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.2.2

Suma $16 x^{2} + 1$ y $0$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.8.3

Suma $16 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.9

Reescribe $4 (19 x^{2} + 1)$ como $2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})$ .

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Paso 3.4.4.8.1.9.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.9.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.10

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1^{2}}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.1.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.2

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{16 x^{2} + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.3

Cancela el factor común de $16 x^{2} + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ y $2$ .

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Paso 3.4.4.8.3.1

Factoriza $2$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.3.3

Factoriza $2$ de $2 (8 x^{2}) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.3.4

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 (- \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.3.5

Factoriza $2$ de $2 (8 x^{2} + 1) + 2 (- \sqrt{19 x^{2} + 1})$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.3.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.8.3.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 (x^{2})}$

Paso 3.4.4.8.3.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

Paso 3.4.4.8.3.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Paso 3.4.4.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{19 x^{2} + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$19 x^{2} + 1 \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$19 x^{2} \geq - 1$

Paso 5.3.2.2

Divide cada término en $19 x^{2} \geq - 1$ por $19$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.2.1

Divide cada término en $19 x^{2} \geq - 1$ por $19$ .

$\frac{19 x^{2}}{19} \geq \frac{- 1}{19}$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $19$ .

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Paso 5.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{19 x^{2}}{19} \geq \frac{- 1}{19}$

Paso 5.3.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{19}$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} \geq - \frac{1}{19}$

Paso 5.3.2.3

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Paso 5.3.3

Establece el denominador en $\frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 5.3.4

Resuelve $x$

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Paso 5.3.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.3.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.3.4.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ no es igual al rango de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ no es una inversa de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ .

No hay una inversa

Paso 6