Matemática discreta Ejemplos

$f (t) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$

Paso 1

Escribe $f (t) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ como una ecuación.

$y = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$u = - 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3) = u$ .

$- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3) = u$

Paso 3.2

Simplifica $- 4 y (t - 4) + 4 y (t - 3)$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 y t - 4 y \cdot - 4 + 4 y (t - 3) = u$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$- 4 y t + 16 y + 4 y (t - 3) = u$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 y t + 16 y + 4 y t + 4 y \cdot - 3 = u$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$- 4 y t + 16 y + 4 y t - 12 y = u$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.1

Combina los términos opuestos en $- 4 y t + 16 y + 4 y t - 12 y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Suma $- 4 y t$ y $4 y t$ .

$16 y + 0 - 12 y = u$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $16 y$ y $0$ .

$16 y - 12 y = u$

Paso 3.2.2.2

Resta $12 y$ de $16 y$ .

$4 y = u$

Paso 3.3

Divide cada término en $4 y = u$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $4 y = u$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{u}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{u}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{u}{4}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (u)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$ es la inversa de $f (u) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (u)) = u$ y $f (f^{- 1} (u)) = u$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (u))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (u))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)}{4}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $4 u$ de $- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $4 u$ de $- 4 u (t - 4)$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 (t - 4)) + 4 u (t - 3)}{4}$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $4 u$ de $4 u (- 1 (t - 4)) + 4 u (t - 3)$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 (t - 4) + t - 3)}{4}$

Paso 5.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- 1 t - 1 \cdot - 4 + t - 3)}{4}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- t - 1 \cdot - 4 + t - 3)}{4}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (- t + 4 + t - 3)}{4}$

Paso 5.2.3.5

Suma $- t$ y $t$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (0 + 4 - 3)}{4}$

Paso 5.2.3.6

Suma $0$ y $4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u (4 - 3)}{4}$

Paso 5.2.3.7

Resta $3$ de $4$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u \cdot 1}{4}$

Paso 5.2.3.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u}{4}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = \frac{4 u}{4}$

Paso 5.2.4.2

Divide $u$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)) = u$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (u))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (u))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{u}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{u}{4}) = - 4 \frac{u}{4} (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) (t - 3)$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 (- 1) (\frac{u}{4}) \cdot (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{u}{4}) = 4 \cdot (- 1 \frac{u}{4}) \cdot (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Paso 5.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{u}{4}) = - 1 u (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $- 1 u$ como $- u$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u (t - 4) + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Paso 5.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{u}{4}) = - u t - u \cdot - 4 + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + 4 (\frac{u}{4}) \cdot (t - 3)$

Paso 5.3.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u (t - 3)$

Paso 5.3.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u t + u \cdot - 3$

Paso 5.3.3.7

Mueve $- 3$ a la izquierda de $u$ .

$f (\frac{u}{4}) = - u t + 4 u + u t - 3 u$

Paso 5.3.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.3.4.1

Combina los términos opuestos en $- u t + 4 u + u t - 3 u$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Suma $- u t$ y $u t$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 u + 0 - 3 u$

Paso 5.3.4.1.2

Suma $4 u$ y $0$ .

$f (\frac{u}{4}) = 4 u - 3 u$

Paso 5.3.4.2

Resta $3 u$ de $4 u$ .

$f (\frac{u}{4}) = u$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (u)) = u$ y $f (f^{- 1} (u)) = u$ , entonces $f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$ es la inversa de $f (u) = - 4 u (t - 4) + 4 u (t - 3)$ .

$f^{- 1} (u) = \frac{u}{4}$