Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x + 8}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x}{x + 8}$ como una ecuación.

$y = \frac{x}{x + 8}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y}{y + 8}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y}{y + 8} = x$ .

$\frac{y}{y + 8} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y + 8, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y + 8, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y + 8$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{y}{y + 8} = x$ por $y + 8$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y}{y + 8} = x$ por $y + 8$ .

$\frac{y}{y + 8} (y + 8) = x (y + 8)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y + 8$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{y + 8} (y + 8) = x (y + 8)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = x (y + 8)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x y + x \cdot 8$

Paso 3.3.3.2

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$y = x y + 8 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y - x y = 8 x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y$ de $y - x y$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 8 x$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 8 x$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 8 x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $y (1 - x) = 8 x$ por $1 - x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $y (1 - x) = 8 x$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{8 x}{1 - x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{8 x}{1 - x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{8 x}{1 - x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 - x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{x + 8}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x}{x + 8})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{8 (\frac{x}{x + 8})}{1 - (\frac{x}{x + 8})}$

Paso 5.2.3

Combina $8$ y $\frac{x}{x + 8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{\frac{8 x}{x + 8}}{1 - \frac{x}{x + 8}}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{\frac{8 x}{x + 8}}{\frac{x + 8}{x + 8} - \frac{x}{x + 8}}$

Paso 5.2.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{\frac{8 x}{x + 8}}{\frac{x + 8 - x}{x + 8}}$

Paso 5.2.4.3

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{\frac{8 x}{x + 8}}{\frac{x - x + 8}{x + 8}}$

Paso 5.2.4.4

Reescribe $\frac{x - x + 8}{x + 8}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.4.1

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{\frac{8 x}{x + 8}}{\frac{0 + 8}{x + 8}}$

Paso 5.2.4.4.2

Suma $0$ y $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{\frac{8 x}{x + 8}}{\frac{8}{x + 8}}$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{8 x}{x + 8} \cdot \frac{x + 8}{8}$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{8 (x)}{x + 8} \cdot \frac{x + 8}{8}$

Paso 5.2.6.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{8 x}{x + 8} \cdot \frac{x + 8}{8}$

Paso 5.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8)$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $x + 8$ .

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Paso 5.2.7.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = \frac{x}{x + 8} \cdot (x + 8)$

Paso 5.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x}{x + 8}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{8 x}{1 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{\frac{8 x}{1 - x}}{(\frac{8 x}{1 - x}) + 8}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{8 x}{1 - x} + 8}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{8 x}{1 - x} + \frac{8 (1 - x)}{1 - x}}$

Paso 5.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{8 x + 8 (1 - x)}{1 - x}}$

Paso 5.3.4.3

Reordena los términos.

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{8 x + 8 (1 - x)}{- x + 1}}$

Paso 5.3.4.4

Reescribe $\frac{8 x + 8 (1 - x)}{- x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.4.1

Factoriza $8$ de $8 x + 8 (1 - x)$ .

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Paso 5.3.4.4.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (x) + 8 (1 - x)}{- x + 1}}$

Paso 5.3.4.4.1.2

Factoriza $8$ de $8 (x) + 8 (1 - x)$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (x + 1 - x)}{- x + 1}}$

Paso 5.3.4.4.2

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{8 (0 + 1)}{- x + 1}}$

Paso 5.3.4.4.3

Suma $0$ y $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{8 \cdot 1}{- x + 1}}$

Paso 5.3.4.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{1}{\frac{8}{- x + 1}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot (1 (\frac{- x + 1}{8}))$

Paso 5.3.6

Multiplica $\frac{- x + 1}{8}$ por $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{8}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 (x)}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{8}$

Paso 5.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{8 x}{1 - x} \cdot \frac{- x + 1}{8}$

Paso 5.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (- x + 1)$

Paso 5.3.8

Multiplica $\frac{x}{1 - x}$ por $- x + 1$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{1 - x}$

Paso 5.3.9

Cancela el factor común de $- x + 1$ y $1 - x$ .

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Paso 5.3.9.1

Reordena los términos.

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Paso 5.3.9.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Paso 5.3.9.3

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{8 x}{1 - x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{x + 8}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{1 - x}$