Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$

Paso 1

Escribe $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$ como una ecuación.

$y = \log_{3} (x - 4) + 2$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \log_{3} (y - 4) + 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\log_{3} (y - 4) + 2 = x$ .

$\log_{3} (y - 4) + 2 = x$

Paso 3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\log_{3} (y - 4) = x - 2$

Paso 3.3

Reescribe $\log_{3} (y - 4) = x - 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x - 2} = y - 4$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $y - 4 = 3^{x - 2}$ .

$y - 4 = 3^{x - 2}$

Paso 3.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3^{x - 2} + 4$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$ es la inversa de $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = 3^{(\log_{3} (x - 4) + 2) - 2} + 4$

Paso 5.2.3

Combina los términos opuestos en $3^{(\log_{3} (x - 4) + 2) - 2} + 4$ .

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Paso 5.2.3.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = 3^{\log_{3} (x - 4) + 0} + 4$

Paso 5.2.3.2

Suma $\log_{3} (x - 4)$ y $0$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = 3^{\log_{3} (x - 4)} + 4$

Paso 5.2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = x - 4 + 4$

Paso 5.2.5

Combina los términos opuestos en $x - 4 + 4$ .

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Paso 5.2.5.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = x + 0$

Paso 5.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 2) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (3^{x - 2} + 4)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = \log_{3} ((3^{x - 2} + 4) - 4) + 2$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $\log_{3} ((3^{x - 2} + 4) - 4) + 2$ .

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Paso 5.3.3.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = \log_{3} (3^{x - 2} + 0) + 2$

Paso 5.3.3.2

Suma $3^{x - 2}$ y $0$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = \log_{3} (3^{x - 2}) + 2$

Paso 5.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.4.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 2$ fuera del exponente.

$f (3^{x - 2} + 4) = (x - 2) \log_{3} (3) + 2$

Paso 5.3.4.2

El logaritmo en base $3$ de $3$ es $1$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Paso 5.3.4.3

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = x - 2 + 2$

Paso 5.3.5

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 5.3.5.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = x + 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (3^{x - 2} + 4) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$ es la inversa de $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 2} + 4$