Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$ como una ecuación.

$y = - 7^{2} + 3 x + 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - 7^{2} + 3 y + 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- 7^{2} + 3 y + 3 = x$ .

$- 7^{2} + 3 y + 3 = x$

Paso 3.2

Simplifica $- 7^{2} + 3 y + 3$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$- 1 \cdot 49 + 3 y + 3 = x$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$- 49 + 3 y + 3 = x$

Paso 3.2.2

Suma $- 49$ y $3$ .

$3 y - 46 = x$

Paso 3.3

Suma $46$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = x + 46$

Paso 3.4

Divide cada término en $3 y = x + 46$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $3 y = x + 46$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$ es la inversa de $f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 7^{2} + 3 x + 3}{3} + \frac{46}{3}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 7^{2} + 3 x + 3 + 46}{3}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 1 \cdot 49 + 3 x + 3 + 46}{3}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{- 49 + 3 x + 3 + 46}{3}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Suma $- 49$ y $3$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x - 46 + 46}{3}$

Paso 5.2.5.2

Combina los términos opuestos en $3 x - 46 + 46$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Suma $- 46$ y $46$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x + 0}{3}$

Paso 5.2.5.2.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.5.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.5.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.5.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 7^{2} + 3 x + 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 7^{2} + 3 (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) + 3$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 1 \cdot 49 + 3 (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) + 3$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + 3 (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) + 3$

Paso 5.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + x + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Paso 5.3.3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + x + 3 (\frac{46}{3}) + 3$

Paso 5.3.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = - 49 + x + 46 + 3$

Paso 5.3.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 49$ y $46$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = x - 3 + 3$

Paso 5.3.4.2

Combina los términos opuestos en $x - 3 + 3$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x}{3} + \frac{46}{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$ es la inversa de $f (x) = - 7^{2} + 3 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} + \frac{46}{3}$