Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ como una ecuación.

$y = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{- 5}{y^{2 - 4}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$ .

$\frac{- 5}{y^{2 - 4}} = x$

Paso 3.2

Factoriza cada término.

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Paso 3.2.1

Mueve $y^{2 - 4}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$- 5 y^{- (2 - 4)} = x$

Paso 3.2.2

Resta $4$ de $2$ .

$- 5 y^{- - 2} = x$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 5 y^{2} = x$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- 5 y^{2} = x$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 3.3.1.1

Divide cada término en $- 5 y^{2} = x$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

Paso 3.3.1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 5}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{x}{5}$

Paso 3.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Paso 3.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Paso 3.3.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Paso 3.3.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{x}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ es la inversa de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ y $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0]$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- \frac{x}{5} \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $- \frac{x}{5} \geq 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1.1

Divide cada término de $- \frac{x}{5} \geq 0$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- \frac{x}{5}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{x}{5}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Divide $\frac{x}{5}$ por $1$ .

$\frac{x}{5} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$\frac{x}{5} \leq 0$

Paso 5.3.2.2

Multiplica ambos lados por $5$ .

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Paso 5.3.2.3

Simplifica.

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Paso 5.3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.3.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Paso 5.3.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x \leq 0 \cdot 5$

Paso 5.3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.2.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$x \leq 0$

Paso 5.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0]$

Paso 5.4

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

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Paso 5.4.1

Establece el denominador en $\frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2 - 4} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $x$

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Paso 5.4.2.1

Simplifica $x^{2 - 4}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Resta $4$ de $2$ .

$x^{- 2} = 0$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Paso 5.4.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 5.4.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 5.4.3

Establece la base en $x^{2 - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 5.4.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5.5

Obtén el rango de la inversa.

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Paso 5.5.1

Obtén el rango de $\sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Paso 5.5.1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Paso 5.5.2

Obtén el rango de $- \sqrt{- \frac{x}{5}}$ .

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Paso 5.5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0]$

Paso 5.5.3

Obtén la unión de $[0, \infty), (- \infty, 0]$ .

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Paso 5.5.3.1

La unión consiste en todos los elementos contenidos en cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.6

Como el rango de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ no es igual al dominio de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x}{5}}, - \sqrt{- \frac{x}{5}}$ no es una inversa de $f (x) = \frac{- 5}{x^{2 - 4}}$ .

No hay una inversa

Paso 6