Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x + 9}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{x + 9}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{x + 9}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{y + 9}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{y + 9} = x$ .

$\frac{1}{y + 9} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y + 9, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y + 9, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y + 9$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{y + 9} = x$ por $y + 9$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{y + 9} = x$ por $y + 9$ .

$\frac{1}{y + 9} (y + 9) = x (y + 9)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y + 9$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 9} (y + 9) = x (y + 9)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = x (y + 9)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = x y + x \cdot 9$

Paso 3.3.3.2

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$1 = x y + 9 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $x y + 9 x = 1$ .

$x y + 9 x = 1$

Paso 3.4.2

Resta $9 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y = 1 - 9 x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $x y = 1 - 9 x$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $x y = 1 - 9 x$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 9 x}{x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- 9 x}{x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 9 x}{x}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{x} + \frac{- 9 x}{x}$

Paso 3.4.3.3.1.2

Divide $- 9$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x} - 9$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 9$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 9$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{x + 9}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{x + 9})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 9}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 9}} - 9$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 9}) = 1 (x + 9) - 9$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $x + 9$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 9}) = x + 9 - 9$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 9 - 9$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 9}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x + 9}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{1}{x} - 9)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{1}{x} - 9) = \frac{1}{(\frac{1}{x} - 9) + 9}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$f (\frac{1}{x} - 9) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$f (\frac{1}{x} - 9) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{1}{x} - 9) = 1 x$

Paso 5.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{1}{x} - 9) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 9$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x} - 9$