Matemática discreta Ejemplos

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 1

Escribe

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ como una ecuación.

y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Paso 3

Resuelve

y

$y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como

\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Paso 3.2

Factoriza cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reescribe

1

$1$ como

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

a = y

$a = y$ y

b = 1

$b = 1$ .

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Paso 3.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Reduce la expresión

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Paso 3.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Paso 3.2.3.2

Divide

$y + 1$ por

$1$ .

$y + 1 = x$

Paso 3.3

Resta

$1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x - 1$

Paso 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Paso 5

Verifica si

$f^{- 1} (x) = x - 1$ es la inversa de

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si

$f^{- 1} (f (x)) = x$ y

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de

$f$ en

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1

Reescribe

$1$ como

$1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Paso 5.2.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

$a = x$ y

$b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de

$x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Paso 5.2.3.2.2

Divide

$x + 1$ por

$1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en

$x + 1 - 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta

$1$ de

$1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma

$x$ y

$0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa

$f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa

$f (x - 1)$ mediante la sustitución del valor de

$f^{- 1}$ en

$f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Reescribe

$1$ como

$1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Paso 5.3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde

$a = x - 1$ y

$b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica.

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Paso 5.3.3.3.1

Suma

$- 1$ y

$1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Paso 5.3.3.3.2

Suma

$x$ y

$0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Paso 5.3.3.3.3

Resta

$1$ de

$- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Paso 5.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.4.1

Resta

$1$ de

$- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Paso 5.3.4.2

Cancela el factor común de

$x - 2$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Paso 5.3.4.2.2

Divide

$x$ por

$1$ .

$f (x - 1) = x$

Paso 5.4

Como

$f^{- 1} (f (x)) = x$ y

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces

$f^{- 1} (x) = x - 1$ es la inversa de

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$