Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Paso 3.2

Factoriza cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Paso 3.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.3.1

Reduce la expresión $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Paso 3.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Paso 3.2.3.2

Divide $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 = x$

Paso 3.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x - 1$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x - 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Paso 5.2.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Paso 5.2.3.2.2

Divide $x + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Paso 5.3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x - 1$ y $b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica.

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Paso 5.3.3.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Paso 5.3.3.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Paso 5.3.3.3.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Paso 5.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Paso 5.3.4.2

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Paso 5.3.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (x - 1) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x - 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$