Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 2 \sin (2 x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 \sin (2 x)$ como una ecuación.

$y = 2 \sin (2 x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 \sin (2 y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 \sin (2 y) = x$ .

$2 \sin (2 y) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 \sin (2 y) = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 \sin (2 y) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (2 y)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (2 y)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\sin (2 y)$ por $1$ .

$\sin (2 y) = \frac{x}{2}$

Paso 3.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$2 y = \arcsin (\frac{x}{2})$

Paso 3.4

Divide cada término en $2 y = \arcsin (\frac{x}{2})$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $2 y = \arcsin (\frac{x}{2})$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$ es la inversa de $f (x) = 2 \sin (2 x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \sin (2 x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (2 x)}{2})}{2}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (2 x)}{2})}{2}$

Paso 5.2.3.2

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (2 x)) = \frac{\arcsin (\sin (2 x))}{2}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}))$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}))$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Paso 5.3.4

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$ es la inversa de $f (x) = 2 \sin (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{2}$