Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ como una ecuación.

$y = 2 + \sqrt{x + 5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 + \sqrt{y + 5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 + \sqrt{y + 5} = x$ .

$2 + \sqrt{y + 5} = x$

Paso 3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{y + 5} = x - 2$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 5}$ como ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 5)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y + 5 = {(x - 2)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$y + 5 = (x - 2) (x - 2)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 5 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y + 5 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Paso 3.4.3.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$y + 5 = x^{2} - 4 x + 4$

Paso 3.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 5$

Paso 3.5.2

Resta $5$ de $4$ .

$y = x^{2} - 4 x - 1$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ es la inversa de $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = {(2 + \sqrt{x + 5})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe ${(2 + \sqrt{x + 5})}^{2}$ como $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = (2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.2

Expande $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 (2 + \sqrt{x + 5}) + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.1.3

Multiplica $\sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5}$ .

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Paso 5.2.3.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{x + 5}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{1 + 1} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.1.3.3

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ como $x + 5$ .

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Paso 5.2.3.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.1.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.2

Suma $4$ y $5$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.3.3

Suma $2 \sqrt{x + 5}$ y $2 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Paso 5.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 \cdot 2 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Resta $4 \sqrt{x + 5}$ de $4 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 + 0 - 1$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $9 + x - 8$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 - 1$

Paso 5.2.4.2

Resta $8$ de $9$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 1 - 1$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 4 x - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{(x^{2} - 4 x - 1) + 5}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 1$ y $5$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.3.3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe el polinomio.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + x - 2$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $2 + x - 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ es la inversa de $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$