Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 1 + \frac{9}{x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 1 + \frac{9}{x}$ como una ecuación.

$y = 1 + \frac{9}{x}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 1 + \frac{9}{y}$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $1 + \frac{9}{y} = x$ .

$1 + \frac{9}{y} = x$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{9}{y} = x - 1$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 3.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $\frac{9}{y} = x - 1$ por $y$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $\frac{9}{y} = x - 1$ por $y$ .

$\frac{9}{y} y = x y - y$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{y} y = x y - y$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$9 = x y - y$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $x y - y = 9$ .

$x y - y = 9$

Paso 3.5.2

Factoriza $y$ de $x y - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y x - y = 9$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = 9$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 9$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $y (x - 1) = 9$ por $x - 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $y (x - 1) = 9$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{9}{x - 1}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{9}{x - 1}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{9}{x - 1}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = 1 + \frac{9}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (1 + \frac{9}{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = \frac{9}{(1 + \frac{9}{x}) - 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = \frac{9}{\frac{9}{x} + 0}$

Paso 5.2.3.2

Suma $\frac{9}{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = \frac{9}{\frac{9}{x}}$

Paso 5.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = 9 (\frac{x}{9})$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = 9 (\frac{x}{9})$

Paso 5.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (1 + \frac{9}{x}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{9}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + \frac{9}{\frac{9}{x - 1}}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + 9 (\frac{x - 1}{9})$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + 9 (\frac{x - 1}{9})$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{9}{x - 1}) = 1 + x - 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{9}{x - 1}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{9}{x - 1}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = 1 + \frac{9}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9}{x - 1}$