Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ como una ecuación.

$y = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ .

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(y - 7) (y + 1), 1$

Paso 3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(y - 7) (y + 1)$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ por $(y - 7) (y + 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} = x$ por $(y - 7) (y + 1)$ .

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $(y - 7) (y + 1)$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 9}{(y - 7) (y + 1)} ((y - 7) (y + 1)) = x ((y - 7) (y + 1))$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y - 9 = x ((y - 7) (y + 1))$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Expande $(y - 7) (y + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 9 = x (y (y + 1) - 7 (y + 1))$

Paso 3.3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 (y + 1))$

Paso 3.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 9 = x (y \cdot y + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Paso 3.3.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y \cdot 1 - 7 y - 7 \cdot 1)$

Paso 3.3.3.2.1.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7 \cdot 1)$

Paso 3.3.3.2.1.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$y - 9 = x (y^{2} + y - 7 y - 7)$

Paso 3.3.3.2.2

Resta $7 y$ de $y$ .

$y - 9 = x (y^{2} - 6 y - 7)$

Paso 3.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 9 = x y^{2} + x (- 6 y) + x \cdot - 7$

Paso 3.3.3.4

Simplifica.

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Paso 3.3.3.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y + x \cdot - 7$

Paso 3.3.3.4.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $x$ .

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 \cdot x$

$y - 9 = x y^{2} - 6 x y - 7 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x = y - 9$

Paso 3.4.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y = - 9$

Paso 3.4.3

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x y^{2} - 6 x y - 7 x - y + 9 = 0$

Paso 3.4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.5

Sustituye los valores $a = x$ , $b = - 6 x - 1$ y $c = - 7 x + 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (- 6 x - 1) \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 7 x + 9))}}{2 x}$

Paso 3.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.4

Reescribe ${(- 6 x - 1)}^{2}$ como $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.5

Expande $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.6.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.6.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.6.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.6.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.6.1.5

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.6.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Paso 3.4.6.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Paso 3.4.6.9

Multiplica $9$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Paso 3.4.6.10

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.6.10.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.6.10.1.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Paso 3.4.6.10.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Paso 3.4.6.10.2

Multiplica $- 4$ por $- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Paso 3.4.6.11

Suma $36 x^{2}$ y $28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Paso 3.4.6.12

Resta $36 x$ de $12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Paso 3.4.7

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Paso 3.4.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.4.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (- 6 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{{(- 6 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.4

Reescribe ${(- 6 x - 1)}^{2}$ como $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.5

Expande $(- 6 x - 1) (- 6 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.8.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x - 1) - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.8.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.8.1.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.8.1.6.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{- 6 \cdot (- 6 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.6.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} - 6 x \cdot - 1 - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x - 1 (- 6 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.6.1.5

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 6 x + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.6.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (- 7 x + 9)}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 x (- 7 x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 4 x \cdot 9}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.9

Multiplica $9$ por $- 4$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x \cdot x) - 36 x}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.10

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.8.1.10.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.8.1.10.1.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 (x \cdot x)) - 36 x}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.10.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 - 4 \cdot (- 7 x^{2}) - 36 x}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.10.2

Multiplica $- 4$ por $- 7$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{36 x^{2} + 12 x + 1 + 28 x^{2} - 36 x}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.11

Suma $36 x^{2}$ y $28 x^{2}$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} + 12 x + 1 - 36 x}}{2 x}$

Paso 3.4.8.1.12

Resta $36 x$ de $12 x$ .

$y = \frac{6 x + 1 \pm \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Paso 3.4.8.2

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Paso 3.4.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

$y = \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$64 x^{2} - 24 x + 1 \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$64 x^{2} - 24 x + 1 = 0$

Paso 5.3.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.3.2.3

Sustituye los valores $a = 64$ , $b = - 24$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.4

Simplifica.

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Paso 5.3.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.4.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Paso 5.3.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.4.1.2.2

Multiplica $- 256$ por $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.4.1.3

Resta $256$ de $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.4.1.4

Reescribe $320$ como $8^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.3.2.4.1.4.1

Factoriza $64$ de $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.4.1.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.4.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Paso 5.3.2.4.3

Simplifica $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Paso 5.3.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.3.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.5.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Paso 5.3.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.5.1.2.2

Multiplica $- 256$ por $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.5.1.3

Resta $256$ de $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.5.1.4

Reescribe $320$ como $8^{2} \cdot 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.5.1.4.1

Factoriza $64$ de $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.5.1.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.5.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Paso 5.3.2.5.3

Simplifica $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Paso 5.3.2.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Paso 5.3.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.3.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.6.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Paso 5.3.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.6.1.2.2

Multiplica $- 256$ por $1$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 256}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.6.1.3

Resta $256$ de $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{320}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.6.1.4

Reescribe $320$ como $8^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.3.2.6.1.4.1

Factoriza $64$ de $320$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{64 (5)}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.6.1.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{2 \cdot 64}$

Paso 5.3.2.6.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$x = \frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$

Paso 5.3.2.6.3

Simplifica $\frac{24 \pm 8 \sqrt{5}}{128}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{16}$

Paso 5.3.2.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Paso 5.3.2.7

Consolida las soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

Paso 5.3.2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Paso 5.3.2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.3.2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.3.2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$64 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 1 \geq 0$

Paso 5.3.2.9.1.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.3.2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.19$

Paso 5.3.2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $0.19$ en la desigualdad original.

$64 {(0.19)}^{2} - 24 \cdot 0.19 + 1 \geq 0$

Paso 5.3.2.9.2.3

$- 1.2496$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.3.2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 5.3.2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$64 {(3)}^{2} - 24 \cdot 3 + 1 \geq 0$

Paso 5.3.2.9.3.3

$505$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.3.2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Verdadero

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Falso

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Verdadero

$x < \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ Verdadero

$\frac{3 - \sqrt{5}}{16} < x < \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Falso

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$ Verdadero

Paso 5.3.2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{16}$ o $x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{16}$

Paso 5.3.3

Establece el denominador en $\frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x = 0$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 5.3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3 - \sqrt{5}}{16}] \cup [\frac{3 + \sqrt{5}}{16}, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ no es igual al rango de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{6 x + 1 + \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}, \frac{6 x + 1 - \sqrt{64 x^{2} - 24 x + 1}}{2 x}$ no es una inversa de $f (x) = \frac{x - 9}{(x - 7) (x + 1)}$ .

No hay una inversa

Paso 6